라플라스변환

전기기사 필기 2011년 2회 76번

Q: 단위 계단 함수 $u(t)$를 사용하여 파형을 수식으로 나타내는 방법은 무엇인가요?

특정 시간 $t=a$에서 시작되는 파형 $f(t)$는 $f(t)u(t-a)$로 표현합니다. 구간별로 정의된 함수는 각 구간의 시작점에서 해당 함수를 더하고, 끝나는 점에서 빼주는 방식으로 전체 파형을 하나의 수식으로 구성할 수 있습니다.

Q: 시간 추이 정리(Time Shifting Theorem)란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수가 $a$만큼 지연된 $f(t-a)u(t-a)$의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환 $F(s)$에 $e^{-as}$를 곱한 것과 같다는 정리입니다. 즉, $\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)$ 입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

그림과 같은 파형의 라플라스 변환은?

유사 문제 링크

2012-3-q71 2011-2-q72 2016-2-q72 2017-2-q71 2011-2-q79

선택지 분석

1 - 2 e^{- s} + e^{- 2 s}

오답 함정 분석

시간 함수

t

의 라플라스 변환인

\frac{1}{s ^{2}}

이 누락된 형태입니다.

s (1 - 2 e^{- s} + e^{- 2 s})

오답 함정 분석

시간 함수

t

의 라플라스 변환인

\frac{1}{s ^{2}}

대신

s

가 곱해진 잘못된 형태입니다.

\frac{1}{s} (1 - 2 e^{- s} + e^{- 2 s})

오답 함정 분석

시간 함수

t

의 라플라스 변환인

\frac{1}{s ^{2}}

대신 단위 계단 함수의 변환인

\frac{1}{s}

이 곱해진 형태입니다.

\frac{1}{s ^{2}} (1 - 2 e^{- s} + e^{- 2 s})

정답 상세 해설

주어진 파형을 단위 계단 함수

u (t)

를 이용하여 수식으로 표현한 후 라플라스 변환을 수행하여 정답을 도출합니다.

•

Step 1: 주어진 파형

f (t)

를 구간별로 정의합니다.

0 \leq t < 1

구간: 기울기가 1인 직선이므로

f (t) = t

1 \leq t < 2

구간: 기울기가 -1이고 점

(1, 1)

을 지나는 직선이므로

f (t) = - (t - 1) + 1 = - t + 2

t \geq 2

구간:

f (t) = 0

•

Step 2: 파형

f (t)

를 단위 계단 함수

u (t)

를 사용하여 하나의 수식으로 나타냅니다.

f (t) = t \cdot u (t) - t \cdot u (t - 1) + (- t + 2) \cdot u (t - 1) - (- t + 2) \cdot u (t - 2)

이를 정리하면,

f (t) = t \cdot u (t) - 2 (t - 1) \cdot u (t - 1) + (t - 2) \cdot u (t - 2)

가 됩니다.

•

Step 3: 시간 추이 정리

L {f (t - a) u (t - a)} = e^{- a s} F (s)

와

L {t} = \frac{1}{s ^{2}}

을 이용하여 라플라스 변환을 수행합니다.

L {t \cdot u (t)} = \frac{1}{s ^{2}}

L {2 (t - 1) \cdot u (t - 1)} = 2 \cdot \frac{1}{s ^{2}} e^{- s}

L {(t - 2) \cdot u (t - 2)} = \frac{1}{s ^{2}} e^{- 2 s}

따라서

F (s) = \frac{1}{s ^{2}} - \frac{2}{s ^{2}} e^{- s} + \frac{1}{s ^{2}} e^{- 2 s} = \frac{1}{s ^{2}} (1 - 2 e^{- s} + e^{- 2 s})

입니다.

자주 묻는 질문

단위 계단 함수

u (t)

를 사용하여 파형을 수식으로 나타내는 방법은 무엇인가요?

특정 시간

t = a

에서 시작되는 파형

f (t)

는

f (t) u (t - a)

로 표현합니다. 구간별로 정의된 함수는 각 구간의 시작점에서 해당 함수를 더하고, 끝나는 점에서 빼주는 방식으로 전체 파형을 하나의 수식으로 구성할 수 있습니다.

시간 추이 정리(Time Shifting Theorem)란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수가

a

만큼 지연된

f (t - a) u (t - a)

의 라플라스 변환은 원래 함수의 라플라스 변환

F (s)

에

e^{- a s}

를 곱한 것과 같다는 정리입니다. 즉,

L {f (t - a) u (t - a)} = e^{- a s} F (s)

입니다.

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