제동비($\zeta$)에 따른 제어계의 상태는 어떻게 분류되나요?

제동비 $\zeta > 1$이면 과제동, $\zeta = 1$이면 임계제동, $0 < \zeta < 1$이면 부족제동, $\zeta = 0$이면 무제동 상태로 분류합니다.

상태공간해석

전기기사 필기 2016년 1회 62번

Q: 상태방정식에서 제어계의 차수는 어떻게 알 수 있나요?

상태방정식 $\dot{x} = Ax + Bu$에서 시스템 행렬 $A$의 크기가 $n \times n$일 때, 이 제어계는 $n$차 제어계입니다.

Q: 특성방정식의 근을 통해서도 제동 상태를 알 수 있나요?

네, 가능합니다. 특성방정식의 근이 서로 다른 두 실근이면 과제동, 중근이면 임계제동, 공액 복소근이면 부족제동, 순허수근이면 무제동 상태입니다. 이 문제에서는 근이 -1, -2로 서로 다른 두 실근이므로 과제동 상태입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

62. 다음과 같은 상태방정식으로 표현되는 제어계에 대한 설명으로 틀린 것은?

\overset{x}{˙} = [0 - 2 1 - 3] x + [01] u

유사 문제 링크

2011-1-q62 2016-1-q67 2011-1-q69 2016-1-q69 2003-1-q71

선택지 분석

2차 제어계이다.

오답 함정 분석

상태행렬 A가 2x2 행렬이므로 2차 제어계가 맞습니다.

x

는

(2 \times 1)

의 벡터이다.

오답 함정 분석

상태행렬 A가 2x2이므로 상태벡터 x는 2x1 열벡터가 맞습니다.

특성방정식은

(s + 1) (s + 2) = 0

이다.

오답 함정 분석

특성방정식은 |sI - A| = 0으로 구하며, 계산 결과 s^2 + 3s + 2 = 0, 즉 (s+1)(s+2)=0이 맞습니다.

제어계는 부족제동(under damped)된 상태에 있다.

정답 상세 해설

주어진 상태방정식의 특성방정식을 통해 제동 상태를 판별할 수 있습니다.

•

Step 1: 특성방정식

∣ s I - A ∣ = 0

을 구합니다.

A = [0 - 2 1 - 3]

이므로,

∣ s I - A ∣ = s 2 - 1 s + 3 = s (s + 3) - (- 1) (2) = s^{2} + 3 s + 2 = 0

입니다.

•

Step 2: 2차계의 표준 특성방정식

s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2} = 0

과 비교합니다.

ω_{n}^{2} = 2

이므로

ω_{n} = 2

이고,

2 ζ ω_{n} = 3

이므로

ζ = \frac{3}{2 2} \approx 1.06

입니다.

•

Step 3: 제동비

ζ

가 1보다 크므로(

ζ > 1

), 이 제어계는 과제동(over damped) 상태입니다. 따라서 부족제동 상태라는 설명은 틀렸습니다.

자주 묻는 질문

상태방정식에서 제어계의 차수는 어떻게 알 수 있나요?

상태방정식

\overset{x}{˙} = A x + B u

에서 시스템 행렬

A

의 크기가

n \times n

일 때, 이 제어계는

n

차 제어계입니다.

제동비(

ζ

)에 따른 제어계의 상태는 어떻게 분류되나요?

제동비

ζ > 1

이면 과제동,

ζ = 1

이면 임계제동,

0 < ζ < 1

이면 부족제동,

ζ = 0

이면 무제동 상태로 분류합니다.

특성방정식의 근을 통해서도 제동 상태를 알 수 있나요?

네, 가능합니다. 특성방정식의 근이 서로 다른 두 실근이면 과제동, 중근이면 임계제동, 공액 복소근이면 부족제동, 순허수근이면 무제동 상태입니다. 이 문제에서는 근이 -1, -2로 서로 다른 두 실근이므로 과제동 상태입니다.

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