유한장 직선 도선에 의한 자계 공식에서 각도 $\theta_1, \theta_2$는 어떻게 정해지나요?

도선에 내린 수선의 발을 기준으로 도선의 양 끝점을 바라볼 때 이루는 각도를 각각 $\theta_1, \theta_2$로 정의합니다. 정삼각형의 중심에서 한 변에 수선을 내리면, 양 끝점(꼭짓점)을 바라보는 각도는 각각 $60^\circ$가 됩니다.

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자계와 전류 사이의 힘

전기기사 필기 2016년 1회 5번

Q: 정다각형 중심에서의 자계 세기를 구하는 일반적인 공식이 있나요?

네, 한 변의 길이가 $L$인 정$n$각형 중심에서의 자계 세기 $H$는 $H = \frac{nI}{\pi L} \sin(\frac{\pi}{n}) \tan(\frac{\pi}{n})$로 구할 수 있습니다. 정삼각형($n=3$)을 대입하면 $H = \frac{3I}{\pi L} \sin(60^\circ) \tan(60^\circ) = \frac{3I}{\pi L} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{9I}{2\pi L}$가 됩니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 자계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

한 변의 길이가

L [m]

인 정삼각형 회로에 전류

I [A]

가 흐르고 있을 때 삼각형 중심에서의 자계의 세기

[A T / m]

는?

유사 문제 링크

2012-1-q16 2016-1-q2 2003-1-q2 2022-1-q16 2003-2-q19

선택지 분석

\frac{2 I}{3 π L}

오답 함정 분석

정삼각형 중심 자계 공식이 아닌 잘못된 거리와 각도를 적용하여 도출된 오답입니다.

\frac{9 I}{π L}

오답 함정 분석

정상적인 계산 결과에서 분모의 2를 누락하여 도출된 오답입니다.

\frac{2 2 I}{3 π L}

오답 함정 분석

정사각형 등 다른 다각형의 중심 자계 공식과 혼동하여 도출된 오답입니다.

\frac{9 I}{2 π L}

정답 상세 해설

정삼각형 중심에서의 자계의 세기는 유한장 직선 도선 3개에 의한 자계의 합으로 구합니다.

•

Step 1: 정삼각형 중심에서 한 변까지의 수직 거리

r

을 계산합니다. 한 변의 길이가

L

일 때, 기하학적 특성에 의해

r = \frac{L}{2 3}

입니다.

•

Step 2: 유한장 직선 도선 1개에 의한 자계의 세기

H_{1}

을 계산합니다. 비오-사바르 법칙에 의해

H_{1} = \frac{I}{4 π r} (sin θ_{1} + sin θ_{2})

이며, 정삼각형의 경우 중심에서 양 끝점을 바라보는 각도는

θ_{1} = θ_{2} = 6 0^{\circ}

입니다. 따라서

H_{1} = \frac{I}{4 π ( \frac{L}{2 3} )} (sin 6 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ}) = \frac{3 I}{2 π L} \times (\frac{3}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{3 I}{2 π L}

입니다.

•

Step 3: 정삼각형은 3개의 변으로 이루어져 있으므로, 전체 자계의 세기

H

는

3 \times H_{1}

입니다. 따라서

H = 3 \times \frac{3 I}{2 π L} = \frac{9 I}{2 π L}

입니다.

자주 묻는 질문

정다각형 중심에서의 자계 세기를 구하는 일반적인 공식이 있나요?

네, 한 변의 길이가

L

인 정

n

각형 중심에서의 자계 세기

H

는

H = \frac{n I}{π L} sin (\frac{π}{n}) tan (\frac{π}{n})

로 구할 수 있습니다. 정삼각형(

n = 3

)을 대입하면

H = \frac{3 I}{π L} sin (6 0^{\circ}) tan (6 0^{\circ}) = \frac{3 I}{π L} \times \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9 I}{2 π L}

가 됩니다.

유한장 직선 도선에 의한 자계 공식에서 각도

θ_{1}, θ_{2}

는 어떻게 정해지나요?

도선에 내린 수선의 발을 기준으로 도선의 양 끝점을 바라볼 때 이루는 각도를 각각

θ_{1}, θ_{2}

로 정의합니다. 정삼각형의 중심에서 한 변에 수선을 내리면, 양 끝점(꼭짓점)을 바라보는 각도는 각각

6 0^{\circ}

가 됩니다.

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