가우스의 정리

전기기사 필기 2016년 1회 16번

균일한 전하 밀도를 가진 구 내부에서는 가우스 면 내부의 전하량이 반지름의 세제곱($r^3$)에 비례하고, 가우스 면의 넓이는 반지름의 제곱($r^2$)에 비례하므로 전계의 세기는 결과적으로 $r$에 비례하게 됩니다.

Q문제

반지름

a [m]

인 구대칭 전하에 의한 구내외의 전계의 세기에 해당되는 것은? (문제 오류로 실제 시험에서는 1, 4번이 정답처리 되었습니다. 여기서는 1번을 누르면 정답 처리 됩니다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

그래프 1 (내부 선형 증가, 외부 제곱 반비례 감소)

구 내부(

r < a

)에서의 전계 세기는 가우스 정리에 의해 거리

r

에 비례하여 선형적으로 증가합니다. 수식으로는

E = \frac{ρ r}{3 ϵ _{0}}

로 표현됩니다.

•

구 외부(

r > a

)에서의 전계 세기는 모든 전하가 중심에 모인 점전하와 동일하게 취급되므로 거리의 제곱에 반비례하여 감소합니다. 수식으로는

E = \frac{Q}{4 π ϵ _{0} r ^{2}}

가 됩니다.

•

따라서 내부에서는 원점에서 표면까지 직선으로 증가하고, 외부에서는 곡선으로 급격히 감소하는 형태의 그래프가 이론적으로 가장 정확합니다.

그래프 2

전계가 거리에 단순히 반비례(

1/ r

)하는 경우는 무한장 직선 전하의 특성이며 구대칭 전하의 외부 전계와는 다릅니다.

그래프 3

내부 전계가 0인 경우는 전하가 표면에만 분포하는 도체구의 경우이며, 일반적인 구대칭 전하 분포(부도체구)와는 일치하지 않습니다.

그래프 4

실제 시험에서는 복수 정답으로 인정되었으나, 이론적으로 내부 전계의 선형적 변화가 생략된 형태는 표준적인 전계 분포 모델에서 벗어납니다.

구 내부의 전계가 왜 거리에 비례하여 증가하나요?

균일한 전하 밀도를 가진 구 내부에서는 가우스 면 내부의 전하량이 반지름의 세제곱(

r^{3}

)에 비례하고, 가우스 면의 넓이는 반지름의 제곱(

r^{2}

)에 비례하므로 전계의 세기는 결과적으로

r

에 비례하게 됩니다.

도체구와 부도체구(전하분포구)의 전계 분포 차이는 무엇인가요?

도체구는 전하가 표면에만 존재하여 내부 전계가 0이지만, 균일하게 대전된 부도체구는 내부에도 전하가 존재하여 내부 전계가 중심에서부터 거리에 비례하여 나타납니다.