근궤적과 자동제어의 보상

전기기사 필기 2014년 3회 69번

특성 방정식을 $1 + K \cdot G(s)H(s) = 0$ 형태로 정리했을 때, $G(s)H(s)$의 분모를 0으로 만드는 $s$의 값이 극점이고, 분자를 0으로 만드는 $s$의 값이 영점입니다.

Q문제

다음과 같은 특성 방정식의 근궤적 가지수는?

s (s + 1) (s + 2) + K (s + 3) = 0

유사 문제 링크

선택지 분석

근궤적의 가지수는 극점과 영점의 개수 중 큰 값으로 결정되나, 임의의 잘못된 계산을 한 오답입니다.

근궤적의 가지수는 극점과 영점의 개수 중 큰 값으로 결정되나, 임의의 잘못된 계산을 한 오답입니다.

극점의 개수(3개)와 영점의 개수(1개)를 더하여 가지수를 4개로 착각한 오답입니다.

주어진 특성 방정식에서 근궤적의 가지수는 극점의 개수와 영점의 개수 중 큰 값인 3입니다.

•

Step 1: 특성 방정식을 기본 형태인

1 + G (s) H (s) = 0

꼴로 변환합니다. 주어진 식

s (s + 1) (s + 2) + K (s + 3) = 0

의 양변을

s (s + 1) (s + 2)

로 나누면

1 + \frac{K ( s + 3 )}{s ( s + 1 ) ( s + 2 )} = 0

이 됩니다.

•

Step 2: 개루프 전달함수

G (s) H (s)

의 극점(Pole)과 영점(Zero)의 개수를 구합니다.

G (s) H (s) = \frac{K ( s + 3 )}{s ( s + 1 ) ( s + 2 )}

에서 분모를 0으로 만드는 극점은

s = 0, - 1, - 2

로 총 3개(

P = 3

)입니다. 분자를 0으로 만드는 영점은

s = - 3

으로 총 1개(

Z = 1

)입니다.

•

Step 3: 근궤적의 가지수를 결정합니다. 근궤적의 가지수

N

은 극점의 개수

P

와 영점의 개수

Z

중 큰 값과 같습니다. 따라서

N = max (P, Z) = max (3, 1) = 3

입니다.

근궤적의 가지수는 항상 극점의 개수와 같나요?

아닙니다. 근궤적의 가지수는 개루프 전달함수의 극점의 개수(P)와 영점의 개수(Z) 중 더 큰 값으로 결정됩니다. 일반적으로 물리적인 시스템에서는 극점의 개수가 영점의 개수보다 크거나 같기 때문에 극점의 개수와 같아지는 경우가 많습니다.

특성 방정식에서 극점과 영점은 어떻게 찾나요?

특성 방정식을

1 + K \cdot G (s) H (s) = 0

형태로 정리했을 때,

G (s) H (s)

의 분모를 0으로 만드는

s

의 값이 극점이고, 분자를 0으로 만드는

s

의 값이 영점입니다.