전기쌍극자

전기기사 필기 2012년 1회 18번

Q: 입체각(Solid Angle)은 어떻게 계산하나요?

원뿔 형태에서 꼭지점을 기준으로 한 입체각 $\Omega$는 $\Omega = 2\pi(1 - \cos\theta)$로 계산합니다. 여기서 $\theta$는 원뿔의 중심축과 모선이 이루는 반각입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

반지름

a [m]

의 원판형 전기 2중층의 중심축상

x [m]

의 거리에 있는 점 P(+전하측)의 전위는? (단, 2중층의 세기는

M [C / m]

이다.)

유사 문제 링크

2003-1-q3 2012-1-q20 2022-1-q13 2022-1-q2 2022-1-q1

선택지 분석

\frac{M}{ϵ _{0}} (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}) [V]

오답 함정 분석

전위 공식에서 입체각을 곱할 때 분모의

4 π

와 입체각의

2 π

가 약분되어 분모에 2가 남아야 하지만, 이를 누락한 오답입니다.

\frac{M}{2 ϵ _{0}} (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}) [V]

정답 상세 해설

반지름이

a

인 원판형 전기 이중층의 중심축 상 거리

x

인 점 P에서의 전위를 구하는 과정입니다.

•

Step 1. 전기 이중층에 의한 임의의 점에서의 전위

V

는

V = \frac{M}{4 π ϵ _{0}} Ω

로 정의됩니다. (여기서

Ω

는 입체각입니다.)

•

Step 2. 원판형 이중층이 중심축 상의 점 P에서 만드는 입체각

Ω

는

Ω = 2 π (1 - cos θ)

입니다.

•

Step 3. 직각삼각형의 기하학적 관계에서

cos θ = \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}

이므로, 이를 대입하면

Ω = 2 π (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}})

가 됩니다.

•

Step 4. 구한 입체각을 전위 공식에 대입하면

V = \frac{M}{4 π ϵ _{0}} \times 2 π (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}) = \frac{M}{2 ϵ _{0}} (1 - \frac{x}{x ^{2} + a ^{2}}) [V]

가 도출됩니다.

\frac{M}{ϵ _{0}} (1 - \frac{a}{x ^{2} + a ^{2}}) [V]

오답 함정 분석

분모의 2가 누락되었으며, 입체각 계산 시

cos θ

값에 밑변

x

대신 높이

a

를 잘못 대입한 오답입니다.

\frac{M}{2 ϵ _{0}} (1 - \frac{a}{x ^{2} + a ^{2}}) [V]

오답 함정 분석

입체각 계산 시

cos θ

값에 밑변

x

대신 높이

a

를 잘못 대입한 오답입니다.

자주 묻는 질문

전기 이중층이란 무엇인가요?

전기 이중층은 크기가 같고 부호가 반대인 전하가 아주 얇은 간격을 두고 평행하게 분포되어 있는 층을 의미합니다.

입체각(Solid Angle)은 어떻게 계산하나요?

원뿔 형태에서 꼭지점을 기준으로 한 입체각

Ω

는

Ω = 2 π (1 - cos θ)

로 계산합니다. 여기서

θ

는 원뿔의 중심축과 모선이 이루는 반각입니다.

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