샘플값제어

전기기사 필기 2011년 3회 67번

Q: $e^{-at}$의 Z-변환은 어떻게 유도되나요?

연속 시간 함수 $e^{-at}$를 주기가 $T$인 샘플링을 거치면 $e^{-anT}$가 됩니다. Z-변환의 정의 $\sum_{n=0}^{\infty} f(nT)z^{-n}$에 대입하면 무한 등비급수의 합 공식을 통해 $\frac{z}{z-e^{-aT}}$로 유도됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

Z-변환함수

Z / (Z - e^{- a T})

에 대응되는 라플라스 변환 함수는?

유사 문제 링크

2018-2-q70 2004-3-q72 2007-3-q71 2016-3-q67 2016-3-q62

선택지 분석

1/ (s + a)^{2}

오답 함정 분석

1/ (s + a)^{2}

는 시간 함수

t e^{- a t}

의 라플라스 변환입니다.

1/ (1 - e^{- T s})

오답 함정 분석

1/ (1 - e^{- T s})

는 주기 함수의 라플라스 변환과 관련된 형태이며,

e^{- a t}

의 라플라스 변환이 아닙니다.

a / s (s + a)

오답 함정 분석

a / s (s + a)

는 시간 함수

1 - e^{- a t}

의 라플라스 변환입니다.

1/ (s + a)

정답 상세 해설

Z-변환함수

Z / (Z - e^{- a T})

에 대응되는 라플라스 변환 함수는

1/ (s + a)

입니다.

•

Step 1: 주어진 Z-변환함수

F (z) = \frac{z}{z - e ^{- a T}}

를 역 Z-변환하여 시간 함수

f (t)

를 구합니다.

•

Step 2: Z-변환표에 의해

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

의 역 Z-변환은 이산 시간 함수

e^{- an T}

이며, 이에 대응하는 연속 시간 함수는

f (t) = e^{- a t}

입니다.

•

Step 3: 시간 함수

f (t) = e^{- a t}

를 라플라스 변환합니다.

L {e^{- a t}} = \frac{1}{s + a}

가 됩니다.

자주 묻는 질문

Z-변환에서 라플라스 변환으로 바로 변환하는 공식이 있나요?

일반적으로 Z-변환을 역 Z-변환하여 이산 시간 함수를 연속 시간 함수로 유추한 뒤, 이를 다시 라플라스 변환하는 과정을 거칩니다.

z = e^{s T}

의 관계를 이용하여 변환할 수도 있습니다.

e^{- a t}

의 Z-변환은 어떻게 유도되나요?

연속 시간 함수

e^{- a t}

를 주기가

T

인 샘플링을 거치면

e^{- an T}

가 됩니다. Z-변환의 정의

\sum_{n = 0}^{\infty} f (n T) z^{- n}

에 대입하면 무한 등비급수의 합 공식을 통해

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

로 유도됩니다.

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