전계

전기기사 필기 2009년 3회 13번

Q: 만약 $x=0$ 즉, 원형 코일의 중심에서의 전계의 세기는 어떻게 되나요?

공식 $E = \frac{Qx}{4\pi\epsilon_0 (a^2+x^2)^{3/2}}$에 $x=0$을 대입하면 전계의 세기는 $0 [\text{V/m}]$이 됩니다. 대칭성에 의해 모든 방향의 전계가 상쇄되기 때문입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

공기 중에 그림과 같이 가느다란 전선으로 반경

a

인 원형코일을 만들고, 이것에 전하

Q

가 균일하게 분포하고 있을 때, 원형 코일의 중심축상에서 중심으로부터 거리

x

만큼 떨어진

P

점의 전계의 세기는 몇

[V/m]

인가?

유사 문제 링크

2014-1-q16 2008-1-q4 2006-2-q19 2005-3-q20 2006-2-q13

선택지 분석

\frac{Q}{2 π ϵ _{0} a ^{2} + x ^{2}}

오답 함정 분석

거리의 제곱에 반비례하는 쿨롱의 법칙과 벡터 합성을 고려하지 않은 수식입니다.

\frac{Q}{4 π ϵ _{0} a ^{2} + x ^{2}}

오답 함정 분석

전위 공식을 전계 공식으로 착각하거나 벡터 성분 분해를 누락한 수식입니다.

\frac{Q x}{2 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{3/2}}

오답 함정 분석

분모의 상수가

4 π

가 아닌

2 π

로 잘못 적용된 수식입니다.

\frac{Q x}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{3/2}}

정답 상세 해설

반경

a

인 원형 코일에 전하

Q

가 균일하게 분포할 때, 중심축 상 거리

x

인 점의 전계의 세기는

\frac{Q x}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{3/2}}

입니다.

•

Step 1: 원형 코일 상의 미소 길이

d l

에 포함된 미소 전하

d q

에 의해

P

점에 생기는 미소 전계의 세기

d E

는

d E = \frac{d q}{4 π ϵ _{0} r ^{2}} = \frac{d q}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} )}

입니다.

•

Step 2: 대칭성에 의해 전계의 중심축 수직 성분은 모두 상쇄되고, 중심축 방향 성분(

d E cos θ

)만 남습니다. 이때

cos θ = \frac{x}{a ^{2} + x ^{2}}

입니다.

•

Step 3: 따라서 전체 전계

E

는 미소 전계의 중심축 방향 성분을 모두 적분한 값입니다.

E = \int d E cos θ = \int \frac{d q}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} )} \cdot \frac{x}{a ^{2} + x ^{2}} = \frac{x}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{3/2}} \int d q

가 됩니다.

•

Step 4: 코일 전체의 전하량은

\int d q = Q

이므로, 최종 전계의 세기는

E = \frac{Q x}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{3/2}} [V/m]

입니다.

자주 묻는 질문

원형 코일 중심축 상의 전계에서 왜 수직 성분은 고려하지 않나요?

원형 코일에 전하가 균일하게 분포되어 있으므로, 중심축을 기준으로 마주 보는 두 미소 전하에 의한 전계의 수직 성분은 크기가 같고 방향이 반대되어 서로 상쇄되기 때문입니다.

만약

x = 0

즉, 원형 코일의 중심에서의 전계의 세기는 어떻게 되나요?

공식

E = \frac{Q x}{4 π ϵ _{0} ( a ^{2} + x ^{2} ) ^{3/2}}

에

x = 0

을 대입하면 전계의 세기는

0 [V/m]

이 됩니다. 대칭성에 의해 모든 방향의 전계가 상쇄되기 때문입니다.

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