전기력선

전기기사 필기 2008년 2회 12번

Q: 전위함수가 주어졌을 때 전계는 어떻게 구하나요?

전계는 전위함수의 기울기(Gradient)에 음(-)의 부호를 붙여 구합니다. 즉, $\vec{E} = -\nabla V$ 공식을 사용하여 각 좌표축에 대해 편미분하여 계산합니다.

Q: 전기력선의 방정식은 어떤 원리로 세우나요?

전기력선 상의 임의의 점에서의 접선 방향은 그 점에서의 전계의 방향과 일치합니다. 따라서 미소 변위 벡터 $d\vec{l} = dx\hat{i} + dy\hat{j}$와 전계 벡터 $\vec{E} = E_x\hat{i} + E_y\hat{j}$가 평행하므로 $\frac{dx}{E_x} = \frac{dy}{E_y}$라는 비례식이 성립합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

점전하에 의한 전위함수가

V = x^{2} + y^{2} [V]

로 주어진 전계가 있을 때 이 전계의 전기력선의 방정식은? (단,

A

는 상수이다)

유사 문제 링크

2006-2-q8 2008-2-q18 2008-3-q4 2011-1-q12 2015-2-q19

선택지 분석

x y = A

오답 함정 분석

전계 성분의 비례식을 적분할 때 부호를 반대로 적용하여

\frac{d x}{x} = - \frac{d y}{y}

로 잘못 계산한 결과입니다.

y = A x

정답 상세 해설

전위함수로부터 전계를 구한 후, 전기력선의 미분방정식을 적분하여

y = A x

를 얻을 수 있습니다.

•

Step 1: 전계의 세기(

E

) 구하기 전계는 전위의 기울기(Gradient)에 음의 부호를 취한 값과 같습니다.

E = - \nabla V = - (\frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j})

V = x^{2} + y^{2}

이므로, 편미분하면 다음과 같습니다.

E_{x} = - \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} + y^{2}) = - 2 x

E_{y} = - \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y^{2}) = - 2 y

•

Step 2: 전기력선의 방정식 세우기 2차원 평면에서 전기력선의 방정식은

\frac{d x}{E _{x}} = \frac{d y}{E _{y}}

입니다. 구한 전계 성분을 대입하면

\frac{d x}{- 2 x} = \frac{d y}{- 2 y}

가 되며, 양변에 -2를 곱하면

\frac{d x}{x} = \frac{d y}{y}

가 됩니다.

•

Step 3: 미분방정식 풀이 양변을 적분하면

\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{1}{y} d y

가 됩니다.

ln ∣ x ∣ = ln ∣ y ∣ + C

(단,

C

는 적분상수) 로그의 성질을 이용하여 정리하면

ln ∣ \frac{y}{x} ∣ = - C

가 되며, 이를 지수 형태로 변환하면

\frac{y}{x} = \pm e^{- C}

가 됩니다.

\pm e^{- C}

를 새로운 상수

A

로 치환하면 최종적으로

y = A x

가 도출됩니다.

y = A x^{2}

오답 함정 분석

전계 성분

E_{x}

와

E_{y}

의 차수를 잘못 판단하여 적분 과정에서 오류가 발생한 결과입니다.

1/ x + 1/ y = A

오답 함정 분석

전기력선의 미분방정식

\frac{d x}{x} = \frac{d y}{y}

를 적분할 때 로그 함수가 아닌 다항 함수로 잘못 적분한 결과입니다.

자주 묻는 질문

전위함수가 주어졌을 때 전계는 어떻게 구하나요?

전계는 전위함수의 기울기(Gradient)에 음(-)의 부호를 붙여 구합니다. 즉,

E = - \nabla V

공식을 사용하여 각 좌표축에 대해 편미분하여 계산합니다.

전기력선의 방정식은 어떤 원리로 세우나요?

전기력선 상의 임의의 점에서의 접선 방향은 그 점에서의 전계의 방향과 일치합니다. 따라서 미소 변위 벡터

d l = d x \hat{i} + d y \hat{j}

와 전계 벡터

E = E_{x} \hat{i} + E_{y} \hat{j}

가 평행하므로

\frac{d x}{E _{x}} = \frac{d y}{E _{y}}

라는 비례식이 성립합니다.

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