상태공간해석

전기기사 필기 2007년 3회 78번

Q: 특성방정식은 어떻게 유도되나요?

상태방정식 $\dot{x} = Ax$에서 해를 $x(t) = ve^{\lambda t}$로 가정하고 대입하면 $\lambda v = Av$가 되며, 이를 정리한 $(\lambda I - A)v = 0$에서 자명하지 않은 해를 갖기 위한 조건인 $\det(\lambda I - A) = 0$이 특성방정식입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

A = [- 2 1 2 - 3]

의 고유값은?

유사 문제 링크

2005-3-q75 2017-1-q66 2009-2-q79 2009-2-q72 2015-3-q69

선택지 분석

- 2, - 5

오답 함정 분석

특성방정식의 상수항 계산 오류로 인해 도출된 잘못된 고유값입니다.

- 1, - 4

정답 상세 해설

행렬

A

의 고유값은 특성방정식

det (λ I - A) = 0

을 만족하는

λ

값입니다.

•

Step 1: 특성방정식을 세우기 위해

λ I - A

를 구합니다.

λ I - A = [λ 0 0 λ] - [- 2 1 2 - 3] = [λ + 2 - 1 - 2 λ + 3]

입니다.

•

Step 2: 행렬식(determinant)을 계산하여 0으로 둡니다.

det (λ I - A) = (λ + 2) (λ + 3) - (- 2) (- 1) = λ^{2} + 5 λ + 6 - 2 = λ^{2} + 5 λ + 4 = 0

입니다.

•

Step 3: 2차 방정식을 인수분해하여 고유값을 구합니다.

(λ + 1) (λ + 4) = 0

이므로, 고유값은

λ = - 1, - 4

입니다.

1, 4

오답 함정 분석

특성방정식의 근을 구하는 과정에서 부호를 반대로 적용한 오답입니다.

2, 5

오답 함정 분석

특성방정식 도출 및 인수분해 과정의 오류로 인해 발생한 잘못된 값입니다.

자주 묻는 질문

고유값은 제어공학에서 어떤 의미를 가지나요?

상태공간해석에서 시스템 행렬의 고유값은 시스템의 극점(pole)과 같으며, 시스템의 안정도와 과도응답 특성을 결정하는 중요한 요소입니다.

특성방정식은 어떻게 유도되나요?

상태방정식

\overset{x}{˙} = A x

에서 해를

x (t) = v e^{λ t}

로 가정하고 대입하면

λ v = A v

가 되며, 이를 정리한

(λ I - A) v = 0

에서 자명하지 않은 해를 갖기 위한 조건인

det (λ I - A) = 0

이 특성방정식입니다.

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