$\begin{bmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 로 표현되는 시스템의 상태 천이행렬(state-transition matrix) $\Phi(t)$를 구하면?

$\begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t} \\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2e^{-t}+2e^{-2t} & e^{-t}+2e^{-2t} \\ 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} e^{-2t}+2e^{-t} & e^{-2t}+e^{-t} \\ 2e^{-2t}+2e^{-t} & 2e^{-2t}-e^{-t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -2e^{-2t}+2e^{-t} & 2e^{-2t}+e^{-t} \\ e^{-2t}-2e^{-t} & e^{-2t}+e^{-t} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2e^{-t}-e^{-2t} & e^{-t}-e^{-2t} \\ -2e^{-t}+2e^{-2t} & -e^{-t}+2e^{-2t} \end{bmatrix}$

문제 탐색

상태공간해석

전기기사 필기 2005년 3회 75번

Q: 상태 천이행렬을 구하는 일반적인 방법은 무엇인가요?

시스템 행렬 $A$에 대해 라플라스 변환을 이용하여 $(sI - A)^{-1}$을 구한 후, 이를 역 라플라스 변환하여 구합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

[\overset{x}{˙}_{1} \overset{x}{˙}_{2}] = [0 - 2 1 - 3] [x_{1} x_{2}]

로 표현되는 시스템의 상태 천이행렬(state-transition matrix)

Φ (t)

를 구하면?

유사 문제 링크

2017-1-q66 2009-2-q79 2009-2-q72 2015-3-q69 2006-2-q80

선택지 분석

[- 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t} 2 e^{- t} - e^{- 2 t} e^{- t} + 2 e^{- 2 t} e^{- t} - e^{- 2 t}]

오답 함정 분석

부분분수 전개 시 계수를 잘못 계산하거나 부호를 반대로 적용한 오답입니다.

[e^{- 2 t} + 2 e^{- t} 2 e^{- 2 t} + 2 e^{- t} e^{- 2 t} + e^{- t} 2 e^{- 2 t} - e^{- t}]

오답 함정 분석

역 라플라스 변환 시 지수 함수의 부호나 계수를 잘못 적용한 오답입니다.

[- 2 e^{- 2 t} + 2 e^{- t} e^{- 2 t} - 2 e^{- t} 2 e^{- 2 t} + e^{- t} e^{- 2 t} + e^{- t}]

오답 함정 분석

행렬의 원소 위치를 혼동하거나 역행렬 계산 시 수반행렬을 잘못 구한 오답입니다.

[2 e^{- t} - e^{- 2 t} - 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t} e^{- t} - e^{- 2 t} - e^{- t} + 2 e^{- 2 t}]

정답 상세 해설

상태 천이행렬은 시스템 행렬

A

에 대하여

Φ (t) = L^{- 1} {(s I - A)^{- 1}}

공식을 통해 구합니다.

•

Step 1:

(s I - A)

행렬을 구합니다. 시스템 행렬

A = [0 - 2 1 - 3]

이므로,

s I - A = [s 0 0 s] - [0 - 2 1 - 3] = [s 2 - 1 s + 3]

입니다.

•

Step 2:

(s I - A)^{- 1}

역행렬을 구합니다. 행렬식

Δ = s (s + 3) - (- 1) (2) = s^{2} + 3 s + 2 = (s + 1) (s + 2)

입니다.

(s I - A)^{- 1} = \frac{1}{( s + 1 ) ( s + 2 )} [s + 3 - 2 1 s] = [\frac{s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )} \frac{- 2}{( s + 1 ) ( s + 2 )} \frac{1}{( s + 1 ) ( s + 2 )} \frac{s}{( s + 1 ) ( s + 2 )}]

입니다.

•

Step 3: 각 원소를 부분분수로 전개하고 역 라플라스 변환을 수행합니다. 1행 1열:

\frac{s + 3}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{2}{s + 1} - \frac{1}{s + 2} \to 2 e^{- t} - e^{- 2 t}

1행 2열:

\frac{1}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{1}{s + 1} - \frac{1}{s + 2} \to e^{- t} - e^{- 2 t}

2행 1열:

\frac{- 2}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{- 2}{s + 1} + \frac{2}{s + 2} \to - 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t}

2행 2열:

\frac{s}{( s + 1 ) ( s + 2 )} = \frac{- 1}{s + 1} + \frac{2}{s + 2} \to - e^{- t} + 2 e^{- 2 t}

•

따라서 상태 천이행렬

Φ (t) = [2 e^{- t} - e^{- 2 t} - 2 e^{- t} + 2 e^{- 2 t} e^{- t} - e^{- 2 t} - e^{- t} + 2 e^{- 2 t}]

입니다.

자주 묻는 질문

상태 천이행렬은 무엇을 의미하나요?

상태 천이행렬은 시스템의 초기 상태가 시간이 지남에 따라 어떻게 변화하는지를 나타내는 행렬입니다.

상태 천이행렬을 구하는 일반적인 방법은 무엇인가요?

시스템 행렬

A

에 대해 라플라스 변환을 이용하여

(s I - A)^{- 1}

을 구한 후, 이를 역 라플라스 변환하여 구합니다.

이 문제 바로 풀기