안정도판별법

전기기사 필기 2007년 3회 77번

Q: 루스 배열을 작성할 때 $s^1$ 행의 계산은 어떻게 이루어지나요?

$s^1$ 행의 첫 번째 요소는 바로 위 두 행($s^3$ 행과 $s^2$ 행)의 제1열과 제2열 요소를 교차 곱하여 빼고, 이를 $s^2$ 행의 제1열 요소로 나누어 계산합니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

특성 방정식이

s^{5} + s^{4} + 4 s^{3} + 3 s^{2} + K s + 1 = 0

인 제어계가 안정하기 위한

K

의 범위는?

유사 문제 링크

2007-3-q74 2011-3-q61 2018-2-q66 2007-3-q76 2013-2-q64

선택지 분석

0 < K < 4

오답 함정 분석

s^{2}

행의 조건인

K < 4

와

K > 0

만을 고려하여

s^{1}

행의 조건을 누락한 오답입니다.

(5 - 5) /2 < K < (5 + 5) /2

정답 상세 해설

루스-후르비츠(Routh-Hurwitz) 안정도 판별법을 이용하여 특성 방정식의 계수들로 루스 배열을 작성하고, 제1열의 모든 요소가 양수여야 한다는 조건을 통해

K

의 범위를 구합니다.

•

Step 1: 주어진 특성 방정식

s^{5} + s^{4} + 4 s^{3} + 3 s^{2} + K s + 1 = 0

에 대한 루스 배열을 작성합니다.

s^{5}

행: 1, 4,

K

s^{4}

행: 1, 3, 1,

s^{3}

행:

\frac{1 \times 4 - 1 \times 3}{1} = 1

\frac{1 \times K - 1 \times 1}{1} = K - 1

s^{2}

행:

\frac{1 \times 3 - 1 \times ( K - 1 )}{1} = 4 - K

\frac{1 \times 1 - 1 \times 0}{1} = 1

s^{1}

행:

\frac{( 4 - K ) ( K - 1 ) - 1 \times 1}{4 - K} = \frac{- K ^{2} + 5 K - 5}{4 - K}

s^{0}

행: 1 입니다.

•

Step 2: 제어계가 안정하기 위해서는 루스 배열의 제1열 요소가 모두 양수(>0)이어야 합니다.

s^{2}

행 조건:

4 - K > 0 ⟹ K < 4

s^{1}

행 조건:

\frac{- K ^{2} + 5 K - 5}{4 - K} > 0

입니다.

•

Step 3: 두 조건을 동시에 만족하는

K

의 범위를 계산합니다.

K < 4

이므로 분모

4 - K

는 양수입니다. 따라서 분자인

- K^{2} + 5 K - 5 > 0

이어야 합니다. 양변에 -1을 곱하면

K^{2} - 5 K + 5 < 0

이 됩니다. 근의 공식을 이용하여

K^{2} - 5 K + 5 = 0

의 해를 구하면

K = \frac{5 \pm 25 - 20}{2} = \frac{5 \pm 5}{2}

입니다. 부등식을 풀면

(5 - 5) /2 < K < (5 + 5) /2

가 됩니다. 이 범위의 최댓값은 약 3.618이므로

K < 4

조건도 만족합니다. 따라서 제어계가 안정하기 위한

K

의 범위는

(5 - 5) /2 < K < (5 + 5) /2

입니다.

0 < K < (5 + 5) /2

오답 함정 분석

s^{1}

행의 조건에서 하한값을 0으로 잘못 설정한 오답입니다.

(5 - 5) /2 < K < 4

오답 함정 분석

s^{1}

행의 조건과

s^{2}

행의 조건을 잘못 조합하여 상한값을 4로 설정한 오답입니다.

자주 묻는 질문

루스 배열의 제1열 요소 중 하나라도 0이 되거나 음수가 되면 어떻게 되나요?

제1열 요소 중 부호 변화가 생기면 그 횟수만큼 우반면에 특성근이 존재하게 되어 제어계는 불안정해집니다. 0이 되는 경우에도 임계안정 또는 불안정 상태가 됩니다.

루스 배열을 작성할 때

s^{1}

행의 계산은 어떻게 이루어지나요?

s^{1}

행의 첫 번째 요소는 바로 위 두 행(

s^{3}

행과

s^{2}

행)의 제1열과 제2열 요소를 교차 곱하여 빼고, 이를

s^{2}

행의 제1열 요소로 나누어 계산합니다.

이 문제 바로 풀기