단위 부궤환 제어시스템의 개루프 전달함수 $G(s)$가 다음과 같이 주어져 있다. 이 때 다음 설명 중 틀린 것은? $$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s+2\zeta\omega_n)}$$

$\zeta$값이 작게 될수록 제동이 많이 걸리게 된다.

이 시스템은 $\zeta=1.2$ 일 때 과제동 된 상태에 있게 된다.

이 폐루프 시스템의 특성방정식은 $s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2=0$ 이다.

$\zeta$값이 작게 될수록 제동이 많이 걸리게 된다.

$\zeta$값이 음의 값이면 불안정하게 된다.

제동비($\zeta$)의 크기에 따라 시스템의 응답 특성은 어떻게 구분되나요?

$\zeta > 1$이면 과제동, $\zeta = 1$이면 임계제동, $0 < \zeta < 1$이면 부족제동(진동 발생), $\zeta = 0$이면 무제동(지속 진동)으로 구분합니다.

문제 탐색

정상오차와 주파수응답

전기기사 필기 2006년 2회 77번

Q: 특성방정식에서 $\zeta$가 음수가 되면 왜 불안정해지나요?

특성방정식의 계수 중 하나라도 음수가 되면 루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 판별법에 의해 복소평면의 우반면에 근이 존재하게 되어 시스템이 발산하기 때문입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	trap
난이도	Level 3

Q문제

단위 부궤환 제어시스템의 개루프 전달함수

G (s)

가 다음과 같이 주어져 있다. 이 때 다음 설명 중 틀린 것은?

G (s) = \frac{ω _{n}^{2}}{s ( s + 2 ζ ω _{n} )}

유사 문제 링크

2007-3-q78 2005-3-q75 2017-1-q66 2009-2-q79 2009-2-q72

선택지 분석

이 시스템은

ζ = 1.2

일 때 과제동 된 상태에 있게 된다.

오답 함정 분석

제동비

ζ

가 1보다 큰 경우(

ζ > 1

)를 과제동(Overdamped) 상태라고 정의하므로 이는 옳은 설명입니다.

이 폐루프 시스템의 특성방정식은

s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2} = 0

이다.

오답 함정 분석

단위 부궤환 시스템의 특성방정식

1 + G (s) = 0

에 주어진

G (s)

를 대입하여 정리하면 도출되는 표준 형태이므로 옳은 설명입니다.

ζ

값이 작게 될수록 제동이 많이 걸리게 된다.

정답 상세 해설

제동비(

ζ

)가 작아질수록 시스템의 감쇠 효과가 감소하여 진동이 심해지므로, 제동이 많이 걸린다는 설명은 사실과 반대됩니다.

•

Step 1: 폐루프 시스템의 특성방정식을 도출합니다. 단위 부궤환 시스템의 특성방정식은

1 + G (s) = 0

입니다. 주어진

G (s)

를 대입하면

1 + \frac{ω _{n}^{2}}{s ( s + 2 ζ ω _{n} )} = 0

이 되며, 양변에 분모를 곱해 정리하면

s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2} = 0

이라는 2차 제어계의 표준 특성방정식을 얻습니다.

•

Step 2: 제동비(

ζ

)의 역할을 분석합니다.

ζ

는 시스템의 응답이 얼마나 빨리 감쇠하는지를 결정하는 척도입니다.

ζ

가 1보다 작으면 부족제동 상태로 진동이 발생하며,

ζ

가 0에 가까워질수록 제동력이 약해져 진동의 폭이 커지고 감쇠가 느려집니다.

•

Step 3: 결론을 도출합니다. 제동이 많이 걸린다는 것은 진동을 억제하는 힘이 강해진다는 의미이므로

ζ

값이 커져야 합니다. 따라서

ζ

값이 작을수록 제동이 많이 걸린다는 기술은 틀린 설명입니다.

ζ

값이 음의 값이면 불안정하게 된다.

오답 함정 분석

2차 특성방정식

s^{2} + 2 ζ ω_{n} s + ω_{n}^{2} = 0

에서 모든 계수가 양수여야 시스템이 안정하므로,

ζ < 0

이면 시스템은 불안정해집니다.

자주 묻는 질문

제동비(

ζ

)의 크기에 따라 시스템의 응답 특성은 어떻게 구분되나요?

ζ > 1

이면 과제동,

ζ = 1

이면 임계제동,

0 < ζ < 1

이면 부족제동(진동 발생),

ζ = 0

이면 무제동(지속 진동)으로 구분합니다.

특성방정식에서

ζ

가 음수가 되면 왜 불안정해지나요?

특성방정식의 계수 중 하나라도 음수가 되면 루스-허위츠(Routh-Hurwitz) 판별법에 의해 복소평면의 우반면에 근이 존재하게 되어 시스템이 발산하기 때문입니다.

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