길이 $\ell[m]$인 동축 원통도체의 내외원통에 각각 $+\lambda, -\lambda [C/m]$의 전하가 분포되어 있다. 내외 원통 사이에 유전률 $\epsilon$인 유전체가 채워져 있을 때, 전계의 세기는 몇 $[V/m]$인가? (단, $V$는 내외 원통간의 전위차, $D$는 전속밀도이고, $a, b$는 내외 원통의 반지름이며 원통 중심에서의 거리 $r$은 $a < r < b$ 인 경우이다.)

$\frac{V}{\epsilon \cdot \ln \frac{b}{a}}$

$\frac{D}{\epsilon \cdot \ln \frac{b}{a}}$

전위차 $V$와 선전하 밀도 $\lambda$는 어떤 관계가 있나요?

전위차 $V$는 선전하 밀도 $\lambda$에 비례하며, $V = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon} \ln \frac{b}{a}$ 의 관계를 가집니다.

문제 탐색

전계

전기기사 필기 2006년 2회 5번

Q: 동축 원통 도체에서 전계의 세기는 거리에 따라 어떻게 변하나요?

동축 원통 도체 내부에서 전계의 세기는 중심축으로부터의 거리 $r$에 반비례하여 감소합니다.

Q: 전위차 $V$와 선전하 밀도 $\lambda$는 어떤 관계가 있나요?

전위차 $V$는 선전하 밀도 $\lambda$에 비례하며, $V = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon} \ln \frac{b}{a}$ 의 관계를 가집니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

길이

ℓ [m]

인 동축 원통도체의 내외원통에 각각

+ λ, - λ [C / m]

의 전하가 분포되어 있다. 내외 원통 사이에 유전률

ϵ

인 유전체가 채워져 있을 때, 전계의 세기는 몇

[V / m]

인가? (단,

V

는 내외 원통간의 전위차,

D

는 전속밀도이고,

a, b

는 내외 원통의 반지름이며 원통 중심에서의 거리

r

은

a < r < b

인 경우이다.)

유사 문제 링크

2006-1-q11 2019-1-q7 2005-1-q8 2006-2-q18 2008-2-q11

선택지 분석

\frac{V}{r \cdot l n \frac{b}{a}}

정답 상세 해설

동축 원통 도체 내부의 전계의 세기는 전위차

V

와 거리

r

의 관계로 나타낼 수 있습니다.

•

Step 1: 가우스의 정리에 의해 원통 중심에서 거리

r

인 지점의 전계의 세기

E

는

E = \frac{λ}{2 π ϵr}

입니다.

•

Step 2: 내외 원통 간의 전위차

V

는 전계

E

를

a

에서

b

까지 적분하여 구합니다.

V = \int_{a}^{b} E d r = \int_{a}^{b} \frac{λ}{2 π ϵr} d r = \frac{λ}{2 π ϵ} ln \frac{b}{a}

입니다.

•

Step 3: 위 식에서

\frac{λ}{2 π ϵ} = \frac{V}{l n \frac{b}{a}}

로 정리할 수 있습니다.

•

Step 4: 정리한 식을 Step 1의 전계

E

식에 대입하면

E = \frac{V}{r l n \frac{b}{a}}

가 됩니다.

\frac{V}{ϵ \cdot l n \frac{b}{a}}

오답 함정 분석

전계의 세기는 거리에 반비례해야 하지만, 거리

r

대신 유전율

ϵ

이 분모에 포함되어 물리적 차원이 맞지 않습니다.

\frac{D}{r \cdot l n \frac{b}{a}}

오답 함정 분석

전위차

V

가 들어가야 할 자리에 전속밀도

D

가 사용되어 잘못된 수식입니다.

\frac{D}{ϵ \cdot l n \frac{b}{a}}

오답 함정 분석

전위차

V

대신 전속밀도

D

가 사용되었고, 거리

r

대신 유전율

ϵ

이 사용되어 완전히 잘못된 수식입니다.

자주 묻는 질문

동축 원통 도체에서 전계의 세기는 거리에 따라 어떻게 변하나요?

동축 원통 도체 내부에서 전계의 세기는 중심축으로부터의 거리

r

에 반비례하여 감소합니다.

전위차

V

와 선전하 밀도

λ

는 어떤 관계가 있나요?

전위차

V

는 선전하 밀도

λ

에 비례하며,

V = \frac{λ}{2 π ϵ} ln \frac{b}{a}

의 관계를 가집니다.

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