$\omega$가 매우 클 때 $\tan^{-1}(\omega T)$가 $90^\circ$가 되는 이유는 무엇인가요?

탄젠트 함수 $\tan(\theta)$는 $\theta$가 $90^\circ$($\pi/2$ 라디안)에 가까워질 때 무한대로 발산합니다. 따라서 역탄젠트 함수에서 입력값이 무한대로 커지면 그 결괏값은 $90^\circ$에 수렴하게 됩니다.

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정상오차와 주파수응답

전기기사 필기 2005년 3회 72번

Q: 이득 기울기가 $-40[dB]$라는 것은 어떤 의미인가요?

주파수 $\omega$가 10배(1 decade) 증가할 때마다 크기 이득이 $40[dB]$씩 감소한다는 것을 의미합니다. 분모에 $s^2$ 항이 지배적이 될 때 나타나는 특성입니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

G (s) = \frac{1}{s ( 1 + T s )}

로 표시되는 제어계에서

ω

가 아주 클 때

∣ G (j ω) ∣

와 위상각은?

유사 문제 링크

2013-2-q65 2014-3-q63 2019-2-q64 2005-3-q79 2007-3-q79

선택지 분석

- 40 [d B], - 18 0^{\circ}

정답 상세 해설

ω

가 매우 클 때 이득 곡선의 기울기는

- 40 [d B / d ec]

이며, 위상각은

- 18 0^{\circ}

에 수렴합니다.

•

Step 1: 주파수 응답 함수 구하기

s = j ω

를 대입하여

G (j ω)

를 구합니다.

G (j ω) = \frac{1}{j ω ( 1 + j ω T )}

•

Step 2: 크기와 이득 기울기 계산하기 크기

∣ G (j ω) ∣ = \frac{1}{ω 1 + ( ω T ) ^{2}}

입니다.

ω

가 매우 클 때,

∣ G (j ω) ∣ \approx \frac{1}{T ω ^{2}}

이 됩니다. 이를 데시벨(dB)로 변환하면

20 lo g_{10} ∣ G (j ω) ∣ \approx - 40 lo g_{10} ω - 20 lo g_{10} T

가 됩니다. 따라서

ω

가 매우 클 때 이득 곡선의 기울기는

- 40 [d B / d ec]

가 됩니다.

•

Step 3: 위상각 계산하기 위상각

∠ G (j ω) = - 9 0^{\circ} - tan^{- 1} (ω T)

입니다.

ω

가 매우 클 때,

tan^{- 1} (ω T)

는

9 0^{\circ}

에 수렴합니다. 따라서 최종 위상각은

- 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = - 18 0^{\circ}

가 됩니다.

- 40 [d B], - 9 0^{\circ}

오답 함정 분석

위상각을 -180도가 아닌 -90도로 잘못 계산한 오답입니다.

- 20 [d B], - 18 0^{\circ}

오답 함정 분석

이득 기울기를 -40[dB/dec]가 아닌 -20[dB/dec]로 잘못 계산한 오답입니다.

- 20 [d B], - 9 0^{\circ}

오답 함정 분석

이득 기울기와 위상각을 모두 잘못 계산한 오답입니다.

자주 묻는 질문

ω

가 매우 클 때

tan^{- 1} (ω T)

가

9 0^{\circ}

가 되는 이유는 무엇인가요?

탄젠트 함수

tan (θ)

는

θ

가

9 0^{\circ}

(

π /2

라디안)에 가까워질 때 무한대로 발산합니다. 따라서 역탄젠트 함수에서 입력값이 무한대로 커지면 그 결괏값은

9 0^{\circ}

에 수렴하게 됩니다.

이득 기울기가

- 40 [d B]

라는 것은 어떤 의미인가요?

주파수

ω

가 10배(1 decade) 증가할 때마다 크기 이득이

40 [d B]

씩 감소한다는 것을 의미합니다. 분모에

s^{2}

항이 지배적이 될 때 나타나는 특성입니다.

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