라플라스변환

전기기사 필기 2005년 2회 75번

Q: 라플라스 변환에서 복소추이 정리(제1 이동 정리)란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수에 지수함수 $e^{at}$가 곱해지면, 복소 주파수 영역(s 영역)에서는 원래 함수의 라플라스 변환 결과에서 $s$ 대신 $s-a$로 평행 이동하는 정리입니다.

Q: $t^n$의 라플라스 변환 공식은 어떻게 되나요?

$t^n$의 라플라스 변환은 $\frac{n!}{s^{n+1}}$ 입니다. 따라서 $t^2$의 경우 $\frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3}$가 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 회로이론
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

함수

f (t) = t^{2} e^{- 3 t}

의 라플라스 변환(

F (s)

)은?

유사 문제 링크

2004-3-q76 2005-3-q73 2014-2-q75 2016-3-q78 2011-3-q78

선택지 분석

F (s) = \frac{2}{( s - 3 ) ^{2}}

오답 함정 분석

지수함수의 부호를 잘못 적용하여

s + 3

대신

s - 3

으로 계산하고,

t^{n}

의 차수를 잘못 적용하여 분모를 2제곱으로 계산한 오답입니다.

F (s) = \frac{2}{( s + 3 ) ^{3}}

정답 상세 해설

함수

f (t) = t^{2} e^{- 3 t}

의 라플라스 변환은 라플라스 변환의 기본 공식과 복소추이 정리를 이용하여 구할 수 있습니다.

•

Step 1: 기본 함수

t^{n}

의 라플라스 변환 공식을 적용합니다.

L [t^{n}] = \frac{n !}{s ^{n + 1}}

이므로,

n = 2

일 때

L [t^{2}] = \frac{2 !}{s ^{2 + 1}} = \frac{2}{s ^{3}}

입니다.

•

Step 2: 복소추이 정리(제1 이동 정리)를 적용합니다.

L [e^{a t} f (t)] = F (s - a)

이므로,

e^{- 3 t}

가 곱해진 경우

s

대신

s - (- 3) = s + 3

을 대입합니다.

•

Step 3: 두 결과를 결합하면

L [t^{2} e^{- 3 t}] = \frac{2}{( s + 3 ) ^{3}}

이 됩니다.

F (s) = \frac{1}{( s + 3 ) ^{3}}

오답 함정 분석

t^{n}

의 라플라스 변환 분자 부분인

n!

을 계산할 때

2!

대신

1

로 잘못 계산한 오답입니다.

F (s) = \frac{1}{( s - 3 ) ^{3}}

오답 함정 분석

지수함수의 부호를 잘못 적용하여

s + 3

대신

s - 3

으로 계산하고, 분자 부분인

n!

을

1

로 잘못 계산한 오답입니다.

자주 묻는 질문

라플라스 변환에서 복소추이 정리(제1 이동 정리)란 무엇인가요?

시간 영역에서 함수에 지수함수

e^{a t}

가 곱해지면, 복소 주파수 영역(s 영역)에서는 원래 함수의 라플라스 변환 결과에서

s

대신

s - a

로 평행 이동하는 정리입니다.

t^{n}

의 라플라스 변환 공식은 어떻게 되나요?

t^{n}

의 라플라스 변환은

\frac{n !}{s ^{n + 1}}

입니다. 따라서

t^{2}

의 경우

\frac{2 !}{s ^{3}} = \frac{2}{s ^{3}}

가 됩니다.

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