전위

전기기사 필기 2005년 2회 14번

Q문제

진공의 전하분포 공간내에서 전위가

V = x^{2} + y^{2} [V]

로 표시될 때, 전하밀도는 몇

[C / m^{3}]

인가?

유사 문제 링크

선택지 분석

- 4 ϵ_{0}

전위와 전하밀도의 관계는 푸아송의 방정식(Poisson's equation)을 통해 도출할 수 있습니다.

•

Step 1: 푸아송의 방정식은

\nabla^{2} V = - \frac{ρ}{ϵ _{0}}

입니다. 여기서

V

는 전위,

ρ

는 체적 전하밀도,

ϵ_{0}

는 진공의 유전율입니다.

•

Step 2: 주어진 전위

V = x^{2} + y^{2}

에 대해 라플라시안(

\nabla^{2}

)을 계산합니다.

\nabla^{2} V = \frac{\partial ^{2} V}{\partial x ^{2}} + \frac{\partial ^{2} V}{\partial y ^{2}} + \frac{\partial ^{2} V}{\partial z ^{2}}

\frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} (x^{2} + y^{2}) = 2

\frac{\partial ^{2}}{\partial y ^{2}} (x^{2} + y^{2}) = 2

\frac{\partial ^{2}}{\partial z ^{2}} (x^{2} + y^{2}) = 0

따라서

\nabla^{2} V = 2 + 2 + 0 = 4

입니다.

•

Step 3: 계산된 라플라시안 값을 푸아송의 방정식에 대입하여 전하밀도

ρ

를 구합니다.

4 = - \frac{ρ}{ϵ _{0}}

ρ = - 4 ϵ_{0} [C / m^{3}]

입니다.

\frac{4}{ϵ _{0}}

푸아송의 방정식에서 음수 부호와 유전율의 위치를 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

- 2 ϵ_{0}

라플라시안 계산 시 x와 y 성분의 합을 구하지 않고 단일 성분의 편미분 값만 적용한 오답입니다.

\frac{2}{ϵ _{0}}

라플라시안 계산 오류 및 푸아송의 방정식의 부호와 유전율 위치를 모두 잘못 적용한 오답입니다.

푸아송의 방정식은 언제 사용하나요?

공간 내의 전위 분포를 알고 있을 때, 해당 공간의 전하밀도를 구하거나 그 반대의 경우에 사용합니다.

라플라시안 연산자(

\nabla^{2}

)는 어떻게 계산하나요?

주어진 스칼라 함수를 각 직각좌표계 변수(x, y, z)에 대해 두 번씩 편미분한 후 그 결과들을 모두 더하여 계산합니다.