회로의 전달 함수

전기기사 필기 2005년 1회 68번

전달 함수는 모든 초기 조건을 0으로 가정하고 구합니다. 따라서 적분항의 라플라스 변환은 단순히 $$\frac{1}{s}$$를 곱하는 것으로 계산합니다.

Q문제

다음 회로에서 입력을

V (t)

출력을

I (t)

로 했을 때의 입출력 전달 함수는? (단, 스위치 S는

t = 0

순간에 회로에 전압이 공급된다고 한다.)

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{s}{R ( s + \frac{1}{R C} )}

주어진 RC 직렬 회로의 입출력 전달 함수는

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{s}{R ( s + \frac{1}{R C} )}

입니다.

•

Step 1: 회로의 미분 방정식을 세웁니다. 키르히호프의 전압 법칙(KVL)에 의해

V (t) = R i (t) + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i (τ) d τ

입니다.

•

Step 2: 양변을 라플라스 변환합니다. 초기 조건이 0이므로

V (s) = R I (s) + \frac{1}{C s} I (s) = I (s) (R + \frac{1}{C s})

입니다.

•

Step 3: 입출력 전달 함수

\frac{I ( s )}{V ( s )}

를 구합니다.

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{1}{R + \frac{1}{C s}} = \frac{C s}{R C s + 1}

입니다.

•

Step 4: 분모와 분자를

R C

로 나누어 식을 정리합니다.

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{\frac{1}{R} s}{s + \frac{1}{R C}} = \frac{s}{R ( s + \frac{1}{R C} )}

가 됩니다.

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{1}{R C ( s + \frac{1}{R C} )}

분자에 s가 누락되었으며, 올바른 수식 전개 결과와 일치하지 않는 오답입니다.

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{s}{R C s + 1}

분자에 C가 누락된 형태이므로 오답입니다. 올바른 형태는

\frac{C s}{R C s + 1}

입니다.

\frac{I ( s )}{V ( s )} = \frac{R C s}{R C s + 1}

분자에 R이 추가로 곱해진 형태이므로 오답입니다.

전달 함수를 구할 때 초기 조건은 어떻게 처리하나요?

전달 함수는 모든 초기 조건을 0으로 가정하고 구합니다. 따라서 적분항의 라플라스 변환은 단순히

\frac{1}{s}

를 곱하는 것으로 계산합니다.

분모와 분자를 RC로 나누는 이유는 무엇인가요?

제어공학에서 전달 함수를 표준형으로 나타낼 때, 분모 다항식의 최고차항 계수를 1로 만드는 것이 일반적입니다. 따라서 s의 계수인 RC로 분모와 분자를 나누어 정리합니다.