상태공간해석

전기기사 필기 2003년 2회 74번

일반적으로 출력 변수와 그 도함수들을 상태 변수로 설정합니다. 3차 미분 방정식의 경우 $x_1 = c(t)$, $x_2 = \dot{c}(t)$, $x_3 = \ddot{c}(t)$로 설정합니다.

Q문제

방정식으로 표시되는 제어계가 있다. 이 계를 상태 방정식

\dot{X} = A X + B U

로 나타내면 계수 행렬

A

는 어떻게 되는가?

\frac{d ^{3} c ( t )}{d t ^{3}} + 5 \frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}} + \frac{d c ( t )}{d t} + 2 c (t) = r (t)

유사 문제 링크

선택지 분석

00 - 2 10 - 1 01 - 5

주어진 3차 미분 방정식에서 상태 변수를 설정하여 상태 방정식의 계수 행렬 A를 구하면

00 - 2 10 - 1 01 - 5

가 됩니다.

•

Step 1: 상태 변수를 다음과 같이 정의합니다.

x_{1} = c (t)

x_{2} = \frac{d c ( t )}{d t} = \overset{x}{˙}_{1}

x_{3} = \frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}} = \overset{x}{˙}_{2}

•

Step 2: 주어진 미분 방정식을 최고차항에 대해 정리하여

\overset{x}{˙}_{3}

를 구합니다.

\frac{d ^{3} c ( t )}{d t ^{3}} = - 2 c (t) - \frac{d c ( t )}{d t} - 5 \frac{d ^{2} c ( t )}{d t ^{2}} + r (t)

\overset{x}{˙}_{3} = - 2 x_{1} - x_{2} - 5 x_{3} + r (t)

•

Step 3: 구한 상태 변수의 미분식들을 행렬 형태로 표현합니다.

\overset{x}{˙}_{1} \overset{x}{˙}_{2} \overset{x}{˙}_{3} = 00 - 2 10 - 1 01 - 5 x_{1} x_{2} x_{3} + 001 r (t)

따라서 계수 행렬

A

는

00 - 2 10 - 1 01 - 5

입니다.

015001102

미분 방정식의 계수를 이항할 때 부호가 반대로 바뀌어야 하나, 이를 적용하지 않고 양수 그대로 배치한 오답입니다.

010005102

상태 방정식의 기본 형태인 동반 행렬(companion matrix)의 구조를 잘못 이해하여 1과 0의 위치를 혼동하고 계수 배치를 잘못한 오답입니다.

01 - 2 10 - 1 000

미분 방정식의 2차 미분항 계수인 5를 누락하고 행렬의 구조를 잘못 작성한 오답입니다.

상태 변수는 어떻게 설정하나요?

일반적으로 출력 변수와 그 도함수들을 상태 변수로 설정합니다. 3차 미분 방정식의 경우

x_{1} = c (t)

x_{2} = \overset{c}{˙} (t)

x_{3} = \overset{c}{¨} (t)

로 설정합니다.

계수 행렬 A의 마지막 행은 어떻게 결정되나요?

최고차 미분항을 제외한 나머지 항들을 우변으로 이항하여 얻은 식의 계수들이 마지막 행의 원소가 됩니다. 이항 과정에서 부호가 반대로 바뀜에 주의해야 합니다.