근궤적과 자동제어의 보상

전기기사 필기 2021년 3회 64번

Q문제

개루프 전달함수가 다음과 같은 제어시스템의 근궤적이

j ω

(허수)축과 교차할 때

K

는 얼마인가?

G (s) H (s) = \frac{K}{s ( s + 3 ) ( s + 4 )}

유사 문제 링크

선택지 분석

30

특성방정식의 계수 계산 오류나 루스 배열의 조건을 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

48

루스 배열의

s^{1}

행 계산 시 분자의 곱셈을 잘못 수행하여 도출된 오답입니다.

84

근궤적이 허수축과 교차하는 점을 찾기 위해 특성방정식을 구하고 루스-후르비츠 판별법을 적용합니다.

•

Step 1: 특성방정식은

1 + G (s) H (s) = 0

이므로,

1 + \frac{K}{s ( s + 3 ) ( s + 4 )} = 0

입니다. 이를 전개하면

s (s^{2} + 7 s + 12) + K = 0

, 즉

s^{3} + 7 s^{2} + 12 s + K = 0

이 됩니다.

•

Step 2: 루스-후르비츠(Routh-Hurwitz) 판별법을 적용하여 루스 배열을 작성합니다.

s^{3}

행은 1과 12,

s^{2}

행은 7과 K,

s^{1}

행은

(7 \times 12 - K) /7

과 0,

s^{0}

행은 K가 됩니다.

•

Step 3: 근궤적이 허수축과 교차하려면 시스템이 임계안정 상태여야 하므로, 루스 배열의

s^{1}

행의 첫 번째 열 요소가 0이 되어야 합니다. 따라서

\frac{84 - K}{7} = 0

을 만족하는

K

의 값은

84

입니다.

180

특성방정식의 계수 곱셈 과정에서 오류가 발생하여 도출된 오답입니다.

근궤적이 허수축과 교차한다는 것은 어떤 의미인가요?

시스템이 임계안정 상태(Marginally Stable)에 도달했음을 의미합니다. 이때 특성방정식의 근이 허수축 상에 존재하게 되며, 루스 배열에서 특정 행의 모든 요소가 0이 되는 조건으로 이를 찾을 수 있습니다.

루스 배열에서

s^{1}

행이 0이 되는 이유는 무엇인가요?

루스 배열의 한 행이 모두 0이 되면 보조방정식을 통해 허수축 상의 근을 구할 수 있습니다. 이는 시스템이 지속적인 진동 상태에 있음을 나타내는 임계안정 조건입니다.