$\text{grad}V$와 전계 $E$의 관계는 무엇인가요?

전계 $E$는 전위 $V$의 기울기에 음의 부호를 붙인 값, 즉 $E = -\text{grad}V$로 정의됩니다.

전위

전기기사 필기 2017년 3회 1번

Q: 편미분 시 연쇄 법칙은 어떻게 적용하나요?

함수 $f(g(x))$를 미분할 때 $f'(g(x)) \cdot g'(x)$로 계산합니다. 이 문제에서는 $(x^2+y^2)^{-1}$을 미분하여 $-(x^2+y^2)^{-2}$를 구한 뒤, 속미분인 $2x$ 또는 $2y$를 곱하여 계산합니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

점전하에 의한 전위 함수가

V = \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} [V]

일 때

grad V

는?

유사 문제 링크

2017-3-q15 2003-3-q12 2018-2-q19 2016-3-q14 2011-3-q14

선택지 분석

\frac{i x + j y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

오답 함정 분석

편미분 과정에서 연쇄 법칙(chain rule)을 적용할 때 계수 2를 누락한 오답입니다.

\frac{i 2 x + j 2 y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

정답 상세 해설

주어진 전위 함수

V

에 대해 기울기(gradient) 연산을 수행하여 결과를 도출합니다.

•

Step 1: 전위 함수

V = (x^{2} + y^{2})^{- 1}

의

x

방향 편미분을 계산합니다.

\frac{\partial V}{\partial x} = - (x^{2} + y^{2})^{- 2} \cdot 2 x = \frac{- 2 x}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 전위 함수

V

의

y

방향 편미분을 계산합니다.

\frac{\partial V}{\partial y} = - (x^{2} + y^{2})^{- 2} \cdot 2 y = \frac{- 2 y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

입니다.

•

Step 3:

grad V = \frac{\partial V}{\partial x} i + \frac{\partial V}{\partial y} j

공식을 적용합니다. 계산 결과는

\frac{- i 2 x - j 2 y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

이며, 문제의 선지 구성상 부호를 반전한 전계(

E = - grad V

)의 형태인

\frac{i 2 x + j 2 y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

를 정답으로 간주합니다.

\frac{i 2 x}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

오답 함정 분석

y

방향의 편미분 항을 누락하고

x

방향의 성분만 고려한 오답입니다.

\frac{j 2 y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}

오답 함정 분석

x

방향의 편미분 항을 누락하고

y

방향의 성분만 고려한 오답입니다.

자주 묻는 질문

grad V

와 전계

E

의 관계는 무엇인가요?

전계

E

는 전위

V

의 기울기에 음의 부호를 붙인 값, 즉

E = - grad V

로 정의됩니다.

편미분 시 연쇄 법칙은 어떻게 적용하나요?

함수

f (g (x))

를 미분할 때

f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

로 계산합니다. 이 문제에서는

(x^{2} + y^{2})^{- 1}

을 미분하여

- (x^{2} + y^{2})^{- 2}

를 구한 뒤, 속미분인

2 x

또는

2 y

를 곱하여 계산합니다.

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