그림과 같은 원통상 도선 한 가닥이 유전율 $\epsilon [F/m]$인 매질 내에 지상 $h[m]$ 높이로 지면과 나란히 가선되어 있을 때 대지와 도선간의 단위 길이당 정전용량 $[F/m]$은?

$\frac{2\pi\epsilon}{\cosh^{-1} \frac{h}{a}}$

$\frac{2\pi\epsilon}{\sinh^{-1} \frac{h}{a}}$

$\frac{\pi\epsilon}{\sinh^{-1} \frac{h}{a}}$

$\frac{2\pi\epsilon}{\cosh^{-1} \frac{h}{a}}$

$\frac{\pi\epsilon}{\cosh^{-1} \frac{h}{a}}$

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정전용량

전기기사 필기 2016년 2회 14번

Q: $\cosh^{-1}$ 대신 $\ln$ 기호를 사용하는 공식은 언제 쓰나요?

도선의 높이 $h$가 반지름 $a$에 비해 매우 클 때($h \gg a$), $\cosh^{-1} \frac{h}{a} \approx \ln \frac{2h}{a}$ 로 근사할 수 있습니다. 이 경우 정전용량은 $\frac{2\pi\epsilon}{\ln \frac{2h}{a}}$ 로 표현됩니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 유전체
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

그림과 같은 원통상 도선 한 가닥이 유전율

ϵ [F / m]

인 매질 내에 지상

h [m]

높이로 지면과 나란히 가선되어 있을 때 대지와 도선간의 단위 길이당 정전용량

[F / m]

은?

유사 문제 링크

2004-2-q6 2003-2-q18 2017-2-q13 2018-2-q7 2017-3-q7

선택지 분석

\frac{2 π ϵ}{s i n h ^{- 1} \frac{h}{a}}

오답 함정 분석

분모의 역쌍곡선 함수가 cosh가 아닌 sinh로 잘못 표현되었습니다.

\frac{π ϵ}{s i n h ^{- 1} \frac{h}{a}}

오답 함정 분석

분모의 역쌍곡선 함수가 잘못되었으며, 대지와 도선 간의 정전용량을 구하기 위한 분자의 계수 2가 누락되었습니다.

\frac{2 π ϵ}{c o s h ^{- 1} \frac{h}{a}}

정답 상세 해설

대지와 도선 간의 단위 길이당 정전용량은

\frac{2 π ϵ}{c o s h ^{- 1} \frac{h}{a}}

입니다.

•

Step 1: 영상법을 적용하여 지면 아래 깊이

h

에 반대 극성의 영상 선전하가 존재한다고 가정합니다.

•

Step 2: 반지름이

a

이고 중심 간 거리가

2 h

인 두 평행 원통 도선 사이의 단위 길이당 정전용량은

C_{m} = \frac{π ϵ}{c o s h ^{- 1} \frac{h}{a}}

입니다.

•

Step 3: 대지와 도선 간의 정전용량

C

는 도선과 영상 도선 간의 정전용량

C_{m}

의 2배가 되므로,

C = 2 C_{m} = \frac{2 π ϵ}{c o s h ^{- 1} \frac{h}{a}}

가 됩니다.

\frac{π ϵ}{c o s h ^{- 1} \frac{h}{a}}

오답 함정 분석

이 식은 대지와 도선 간의 정전용량이 아닌, 두 평행 원통 도선 사이의 정전용량을 나타냅니다.

자주 묻는 질문

왜 대지와 도선 간의 정전용량이 두 도선 간의 정전용량의 2배가 되나요?

대지면은 전위가 0인 등전위면입니다. 도선과 영상 도선 사이의 전체 전위차를 V라고 할 때, 도선과 대지 사이의 전위차는 V/2가 됩니다. 정전용량은 C = Q/V 이므로, 전위차가 절반이 되면 정전용량은 2배가 됩니다.

cosh^{- 1}

대신

ln

기호를 사용하는 공식은 언제 쓰나요?

도선의 높이

h

가 반지름

a

에 비해 매우 클 때(

h ≫ a

cosh^{- 1} \frac{h}{a} \approx ln \frac{2 h}{a}

로 근사할 수 있습니다. 이 경우 정전용량은

\frac{2 π ϵ}{l n \frac{2 h}{a}}

로 표현됩니다.

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