반지름 $a[m]$ 의 원형 단면을 가진 도선에 전도전류 $i_c = I_c \sin 2\pi ft[A]$가 흐를 때 변위전류 밀도의 최대값 $j_d$는 몇 $[A/m^2]$가 되는가? (단, 도전율은 $\sigma[S/m]$이고, 비유전율은 $\epsilon_r$ 이다.)

$\frac{f \epsilon_r I_c}{18 \pi \times 10^9 \sigma a^2}$

$\frac{f \epsilon_r I_c}{9 \pi \times 10^9 \sigma a^2}$

$\frac{f \epsilon_r I_c}{4 \pi \times 10^9 \sigma a^2}$

$\frac{\epsilon_r I_c}{4 \pi f \times 10^9 \sigma a^2}$

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변위전류

전기기사 필기 2015년 3회 6번

Q: 진공의 유전율 값은 어떻게 되나요?

진공의 유전율 $\epsilon_0$는 약 $8.855 \times 10^{-12} [F/m]$이며, 계산의 편의를 위해 $\frac{1}{36\pi \times 10^9} [F/m]$로 자주 사용됩니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 전자계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

반지름

a [m]

의 원형 단면을 가진 도선에 전도전류

i_{c} = I_{c} sin 2 π f t [A]

가 흐를 때 변위전류 밀도의 최대값

j_{d}

는 몇

[A / m^{2}]

가 되는가? (단, 도전율은

σ [S / m]

이고, 비유전율은

ϵ_{r}

이다.)

유사 문제 링크

2013-2-q9 2007-3-q15 2006-2-q1 2014-1-q5 2014-2-q17

선택지 분석

\frac{f ϵ _{r} I _{c}}{18 π \times 1 0 ^{9} σ a ^{2}}

정답 상세 해설

변위전류 밀도의 최댓값은

\frac{f ϵ _{r} I _{c}}{18 π \times 1 0 ^{9} σ a ^{2}}

입니다.

•

Step 1: 도선의 단면적이

π a^{2}

이므로 전도전류 밀도는

j_{c} = \frac{i _{c}}{π a ^{2}} = \frac{I _{c} s i n ( 2 π f t )}{π a ^{2}}

입니다.

•

Step 2: 옴의 법칙(

j_{c} = σ E

)을 적용하면 전계는

E = \frac{j _{c}}{σ} = \frac{I _{c} s i n ( 2 π f t )}{σ π a ^{2}}

입니다.

•

Step 3: 변위전류 밀도는

j_{d} = ϵ \frac{\partial E}{\partial t} = ϵ_{0} ϵ_{r} \frac{\partial E}{\partial t}

이며, 진공의 유전율

ϵ_{0} = \frac{1}{36 π \times 1 0 ^{9}}

을 대입하여 시간에 대해 미분합니다.

•

Step 4: 미분 결과

j_{d} = \frac{ϵ _{r}}{36 π \times 1 0 ^{9}} \times \frac{I _{c}}{σ π a ^{2}} \times 2 π f cos (2 π f t) = \frac{f ϵ _{r} I _{c}}{18 π \times 1 0 ^{9} σ a ^{2}} cos (2 π f t)

가 됩니다.

•

Step 5: 코사인 항이 1일 때 최댓값을 가지므로, 구하고자 하는 변위전류 밀도의 최댓값은

\frac{f ϵ _{r} I _{c}}{18 π \times 1 0 ^{9} σ a ^{2}}

입니다.

\frac{f ϵ _{r} I _{c}}{9 π \times 1 0 ^{9} σ a ^{2}}

오답 함정 분석

진공의 유전율 상수 계산 시 분모의 36을 18로 잘못 적용하여 도출된 오답입니다.

\frac{f ϵ _{r} I _{c}}{4 π \times 1 0 ^{9} σ a ^{2}}

오답 함정 분석

진공의 유전율 상수 계산 시 분모의 36을 8로 잘못 적용하거나 미분 과정의 상수를 누락한 오답입니다.

\frac{ϵ _{r} I _{c}}{4 π f \times 1 0 ^{9} σ a ^{2}}

오답 함정 분석

전계를 시간에 대해 미분하는 과정에서 주파수 f가 분자로 곱해져야 하나 분모로 잘못 계산된 오답입니다.

자주 묻는 질문

변위전류와 전도전류의 차이점은 무엇인가요?

전도전류는 도체 내에서 자유전자의 이동에 의해 발생하는 실제 전류이며, 변위전류는 유전체 내에서 전계(전속밀도)의 시간적 변화에 의해 발생하는 가상의 전류입니다.

진공의 유전율 값은 어떻게 되나요?

진공의 유전율

ϵ_{0}

는 약

8.855 \times 1 0^{- 12} [F / m]

이며, 계산의 편의를 위해

\frac{1}{36 π \times 1 0 ^{9}} [F / m]

로 자주 사용됩니다.

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