근궤적과 자동제어의 보상

전기기사 필기 2012년 1회 66번

영점은 전달함수의 분자가 0이 되게 하는 $s$의 값입니다. 주어진 함수는 분자가 상수 $K$이므로 유한한 영점이 존재하지 않습니다.

Q문제

루프 전달함수가 다음과 같은 제어계의 실수축 상의 근궤적 범위는? (단,

K > 0

)

G (s) H (s) = \frac{K}{s ( s + 1 ) ( s + 2 )}

유사 문제 링크

선택지 분석

0 ~ -1 사이의 실수축상

0 ~ -1 구간뿐만 아니라 -2 ~ -\infty 구간에도 근궤적이 존재하므로 오답입니다.

-1 ~ -2 사이의 실수축상

-1 ~ -2 구간은 우측에 극점이 2개(짝수) 존재하므로 근궤적이 존재하지 않습니다.

- 2 - \infty 사이의실수축상

-2 ~ -\infty 구간뿐만 아니라 0 ~ -1 구간에도 근궤적이 존재하므로 오답입니다.

0 - 1, - 2 - \infty 사이의실수축상

실수축 상의 근궤적은 임의의 점을 기준으로 우측에 위치한 극점과 영점의 총 개수가 홀수 개인 구간에 존재합니다.

•

Step 1: 주어진 루프 전달함수

G (s) H (s) = \frac{K}{s ( s + 1 ) ( s + 2 )}

에서 극점(Pole)을 구합니다. 분모가 0이 되는

s

값이므로 극점은

s = 0, - 1, - 2

입니다. 영점(Zero)은 존재하지 않습니다.

•

Step 2: 실수축 상의 근궤적 존재 조건을 확인합니다. 실수축 상의 임의의 점을 기준으로 우측에 있는 극점과 영점의 총 개수가 홀수 개인 구간에 근궤적이 존재합니다.

•

Step 3: 각 구간별로 우측에 있는 극점과 영점의 개수를 확인합니다. -

0 < s

구간: 우측에 극점/영점이 0개(짝수)이므로 근궤적이 존재하지 않습니다. -

- 1 < s < 0

구간: 우측에 극점 1개(

s = 0

)가 있으므로 홀수 개입니다. 따라서 근궤적이 존재합니다. -

- 2 < s < - 1

구간: 우측에 극점 2개(

s = 0, - 1

)가 있으므로 짝수 개입니다. 따라서 근궤적이 존재하지 않습니다. -

s < - 2

구간: 우측에 극점 3개(

s = 0, - 1, - 2

)가 있으므로 홀수 개입니다. 따라서 근궤적이 존재합니다.

•

Step 4: 따라서 실수축 상의 근궤적 범위는

0 \sim - 1

사이와

- 2 \sim - \infty

사이의 실수축상입니다.

실수축 상의 근궤적은 어떻게 판별하나요?

실수축 상의 임의의 점을 기준으로 우측에 위치한 극점과 영점의 총 개수가 홀수 개인 구간에 근궤적이 존재합니다.

주어진 전달함수에서 영점은 왜 없나요?

영점은 전달함수의 분자가 0이 되게 하는

s

의 값입니다. 주어진 함수는 분자가 상수

K

이므로 유한한 영점이 존재하지 않습니다.