라플라스변환

전기기사 필기 2011년 3회 71번

분모를 $(s+a)^2 + \omega^2$ 형태로 변형하면, 지수 감쇠 사인 함수인 $e^{-at} \sin \omega t$의 라플라스 변환 공식과 형태를 맞출 수 있기 때문입니다.

사인 함수의 라플라스 변환 공식은 분자에 $\omega$가 있어야 하므로, 주어진 식의 분자를 $\omega$로 맞추기 위해 상수를 곱하고 식의 크기를 유지하기 위해 다시 그 상수로 나누어 주어야 합니다.

Q문제

L^{- 1} [\frac{1}{s ^{2} + 2 s + 5}]

의 값은?

유사 문제 링크

선택지 분석

e^{- t} sin 2 t

역변환 공식 적용 시 분자에 필요한 상수 2를 보정하기 위한 1/2을 곱하지 않았습니다.

e^{- t} sin t

분모의 상수항을 잘못 해석하여 오메가(ω) 값을 1로 착각하고, 상수 보정도 하지 않았습니다.

\frac{1}{2} e^{- t} sin 2 t

주어진 라플라스 변환식을 역변환하기 위해 분모를 완전제곱식 형태로 변형하여 기본 공식의 형태를 맞춥니다.

•

Step 1: 분모

s^{2} + 2 s + 5

를 완전제곱식인

(s + 1)^{2} + 4

로 변형합니다.

•

Step 2: 주어진 식은

\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}}

가 됩니다.

•

Step 3:

L^{- 1} [\frac{ω}{( s + a ) ^{2} + ω ^{2}}] = e^{- a t} sin ω t

공식을 적용하기 위해 분자에

ω = 2

를 곱하고, 식의 크기를 유지하기 위해 전체 식에

\frac{1}{2}

을 곱합니다.

•

Step 4:

\frac{1}{2} L^{- 1} [\frac{2}{( s + 1 ) ^{2} + 2 ^{2}}] = \frac{1}{2} e^{- t} sin 2 t

가 됩니다.

\frac{1}{2} e^{- t} sin t

상수 보정은 하였으나, 분모의 상수항을 잘못 해석하여 오메가(ω) 값을 1로 착각하였습니다.

라플라스 역변환 시 분모를 완전제곱식으로 바꾸는 이유는 무엇인가요?

분모를

(s + a)^{2} + ω^{2}

형태로 변형하면, 지수 감쇠 사인 함수인

e^{- a t} sin ω t

의 라플라스 변환 공식과 형태를 맞출 수 있기 때문입니다.

분자에 상수를 곱하고 나누는 과정은 왜 필요한가요?

사인 함수의 라플라스 변환 공식은 분자에

ω

가 있어야 하므로, 주어진 식의 분자를

ω

로 맞추기 위해 상수를 곱하고 식의 크기를 유지하기 위해 다시 그 상수로 나누어 주어야 합니다.