샘플값제어

전기기사 필기 2011년 1회 61번

Q: 라플라스 변환 함수를 바로 Z변환할 수 있나요?

라플라스 변환 함수를 직접 Z변환하기보다는, 역 라플라스 변환을 통해 시간 함수 $f(t)$로 바꾼 후 이를 샘플링하여 Z변환의 정의에 대입하는 것이 일반적입니다.

Q: 무한 등비급수의 합 공식은 어떻게 적용되나요?

$\sum_{k=0}^{\infty} r^k = \frac{1}{1-r}$ (단, $|r| < 1$) 공식을 사용합니다. 이 문제에서는 $r = e^{aT} z^{-1}$이므로 $\frac{1}{1 - z^{-1} e^{aT}}$가 됩니다.

과목 / 챕터	회로이론 및 제어공학 / 제어공학
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

다음 중

\frac{1}{s - a}

을 z변환하면?

유사 문제 링크

2007-1-q76 2004-1-q74 2003-1-q77 2005-1-q73 2016-1-q66

선택지 분석

\frac{1}{1 - z ^{- 1} e ^{a T}}

정답 상세 해설

주어진 라플라스 변환 함수

F (s) = \frac{1}{s - a}

를 Z변환한 결과는

\frac{1}{1 - z ^{- 1} e ^{a T}}

입니다.

•

Step 1: 라플라스 변환 함수를 역변환하여 시간 함수

f (t)

를 구합니다.

F (s) = \frac{1}{s - a}

의 역 라플라스 변환은

f (t) = e^{a t}

입니다.

•

Step 2: 시간 함수

f (t)

를 샘플링 주기

T

로 이산화하여

f (k T)

를 구합니다.

f (k T) = e^{ak T}

입니다.

•

Step 3: 이산 시간 함수

f (k T)

에 Z변환의 정의

F (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} f (k T) z^{- k}

를 적용합니다.

F (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} e^{ak T} z^{- k} = \sum_{k = 0}^{\infty} (e^{a T} z^{- 1})^{k}

가 됩니다.

•

Step 4: 무한 등비급수의 합 공식을 적용하면

F (z) = \frac{1}{1 - e ^{a T} z ^{- 1}} = \frac{1}{1 - z ^{- 1} e ^{a T}}

이 됩니다.

\frac{1}{1 - z ^{- 1} e ^{- a T}}

오답 함정 분석

이 식은

F (s) = \frac{1}{s + a}

를 Z변환했을 때의 결과입니다.

\frac{1}{1 - z e ^{a T}}

오답 함정 분석

Z변환의 정의에서

z^{- 1}

이 곱해져야 하나,

z

가 곱해져 있어 잘못된 식입니다.

\frac{1}{1 + z e ^{a T}}

오답 함정 분석

Z변환의 정의에서 부호와

z

의 지수가 모두 잘못 적용된 식입니다.

자주 묻는 질문

라플라스 변환 함수를 바로 Z변환할 수 있나요?

라플라스 변환 함수를 직접 Z변환하기보다는, 역 라플라스 변환을 통해 시간 함수

f (t)

로 바꾼 후 이를 샘플링하여 Z변환의 정의에 대입하는 것이 일반적입니다.

무한 등비급수의 합 공식은 어떻게 적용되나요?

\sum_{k = 0}^{\infty} r^{k} = \frac{1}{1 - r}

(단,

∣ r ∣ < 1

) 공식을 사용합니다. 이 문제에서는

r = e^{a T} z^{- 1}

이므로

\frac{1}{1 - z ^{- 1} e ^{a T}}

가 됩니다.

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