교류발전기의 손실은 단자전압 및 역률이 일정할 때 $P=P_o + \alpha I + \beta I^2$으로 된다. 부하전류 $I$가 어떤 값일 때 발전기 효율이 최대가 되는가? (단, $P_o$는 무부하손이며 $\alpha, \beta$는 계수이다.)

$I = \sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}$

손실 식에서 $\alpha I$ 항은 효율 최대화 조건에 영향을 주지 않나요?

네, 영향을 주지 않습니다. 효율 식을 전류 $I$로 나누어 미분할 때 $\alpha I$는 상수 $\alpha$가 되어 미분 시 0이 되므로, 최적 전류값을 결정하는 데 관여하지 않습니다.

동기기의 손실, 효율, 온도상승 및 정격

전기기사 필기 2008년 2회 41번

과목 / 챕터	전기기기 / 동기기
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

교류발전기의 손실은 단자전압 및 역률이 일정할 때

P = P_{o} + α I + β I^{2}

으로 된다. 부하전류

I

가 어떤 값일 때 발전기 효율이 최대가 되는가? (단,

P_{o}

는 무부하손이며

α, β

는 계수이다.)

유사 문제 링크

2017-3-q56 2018-2-q56 2018-2-q59 2005-2-q50 2004-2-q52

선택지 분석

I = \frac{P _{o}}{β}

오답 함정 분석

미분 과정에서 제곱근을 누락하여 도출된 잘못된 결과입니다.

I = \frac{P _{o}}{β}

정답 상세 해설

발전기의 효율이 최대가 되기 위한 부하전류

I

는 고정손(무부하손)과 가변손 중 전류의 제곱에 비례하는 손실이 같아질 때 발생합니다.

•

Step 1: 발전기의 효율

η

는

\frac{V I c o s θ}{V I c o s θ + P}

로 정의되며, 주어진 손실

P = P_{o} + α I + β I^{2}

를 대입합니다.

•

Step 2: 효율이 최대가 되려면 분모를 분자로 나눈 값인

1 + \frac{P _{o} + α I + β I ^{2}}{V I c o s θ}

가 최소가 되어야 합니다.

•

Step 3: 전압

V

와 역률

cos θ

가 일정하므로,

\frac{P _{o}}{I} + α + β I

를

I

에 대해 미분하여 0이 되는 값을 찾습니다.

•

Step 4:

- \frac{P _{o}}{I ^{2}} + β = 0

이 성립해야 하므로,

I^{2} = \frac{P _{o}}{β}

가 됩니다.

•

Step 5: 따라서 효율이 최대가 되는 부하전류는

I = \frac{P _{o}}{β}

입니다.

I = \frac{α}{β}

오답 함정 분석

무부하손

P_{o}

를 고려하지 않고 1차항과 2차항의 계수만을 사용하여 만든 잘못된 식입니다.

I = \frac{α}{β}

오답 함정 분석

무부하손

P_{o}

대신 1차항 계수

α

를 잘못 대입하여 도출된 결과입니다.

자주 묻는 질문

효율이 최대가 되는 조건은 항상 고정손과 부하손이 같을 때인가요?

일반적으로 기기의 효율이 최대가 되는 조건은 고정손(철손 등)과 가변손(동손 등)이 같을 때입니다. 이 문제에서는 가변손 중 전류의 제곱에 비례하는 항(

β I^{2}

)이 고정손(

P_{o}

)과 같아지는 지점에서 효율이 최대가 됩니다.

손실 식에서

α I

항은 효율 최대화 조건에 영향을 주지 않나요?

네, 영향을 주지 않습니다. 효율 식을 전류

I

로 나누어 미분할 때

α I

는 상수

α

가 되어 미분 시 0이 되므로, 최적 전류값을 결정하는 데 관여하지 않습니다.

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