전기쌍극자

전기기사 필기 2005년 1회 20번

Q: 전기 쌍극자에 의한 전계의 세기는 거리에 따라 어떻게 변하나요?

전기 쌍극자에 의한 전계의 세기는 거리의 세제곱($r^3$)에 반비례하여 감소합니다. 점전하에 의한 전계가 거리의 제곱($r^2$)에 반비례하는 것과 차이가 있습니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 진공 중의 정전계
인지 유형	calculation
난이도	Level 4

Q문제

그림과 같은 전기 쌍극자에서

P

점의 전계의 세기는 몇

[V / m]

인가?

유사 문제 링크

2019-3-q18 2008-1-q19 2019-2-q16 2008-3-q15 2006-2-q11

선택지 분석

a_{r} \frac{Q δ}{2 π ϵ _{0} r ^{3}} sin θ + a_{θ} \frac{Q δ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}} cos θ

오답 함정 분석

r

방향 성분에

sin θ

θ

방향 성분에

cos θ

를 잘못 적용한 오답입니다.

a_{r} \frac{Q δ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}} sin θ + a_{θ} \frac{Q δ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}} cos θ

오답 함정 분석

r

방향 성분의 분모 계수가

2 π

가 아닌

4 π

로 잘못 적용되었으며, 삼각함수도 잘못 적용된 오답입니다.

a_{r} \frac{Q δ}{2 π ϵ _{0} r ^{3}} cos θ + a_{θ} \frac{Q δ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}} sin θ

정답 상세 해설

전기 쌍극자에 의한 임의의 점

P (r, θ)

에서의 전계의 세기는

a_{r} \frac{Q δ}{2 π ϵ _{0} r ^{3}} cos θ + a_{θ} \frac{Q δ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}} sin θ

입니다.

•

Step 1: 전기 쌍극자 모멘트

M

은 전하량

Q

와 두 전하 사이의 거리

δ

의 곱인

M = Q δ

로 정의됩니다.

•

Step 2: 쌍극자 중심에서 거리

r

, 각도

θ

인 점

P

에서의 전위

V

는

V = \frac{M c o s θ}{4 π ϵ _{0} r ^{2}}

입니다.

•

Step 3: 전계

E

는 전위

V

의 기울기(Gradient)에 음수를 취한 값(

E = - \nabla V

)이므로, 구면 좌표계에서

r

방향 성분

E_{r}

과

θ

방향 성분

E_{θ}

를 구합니다.

•

Step 4:

E_{r} = - \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{2 M c o s θ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}} = \frac{Q δ c o s θ}{2 π ϵ _{0} r ^{3}}

이고,

E_{θ} = - \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} = \frac{M s i n θ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}} = \frac{Q δ s i n θ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}}

입니다.

•

Step 5: 따라서 전체 전계 벡터는

E = a_{r} E_{r} + a_{θ} E_{θ} = a_{r} \frac{Q δ c o s θ}{2 π ϵ _{0} r ^{3}} + a_{θ} \frac{Q δ s i n θ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}}

가 됩니다.

a_{r} \frac{Q δ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}} w + a_{θ} \frac{Q δ}{4 π ϵ _{0} r ^{3}} (1 - w)

오답 함정 분석

전계의 성분과 무관한 변수

w

를 포함하고 있어 물리적 의미가 없는 오답입니다.

자주 묻는 질문

전기 쌍극자 모멘트란 무엇인가요?

크기가 같고 부호가 반대인 두 전하가 미소 거리만큼 떨어져 있을 때, 전하량과 두 전하 사이의 거리 벡터를 곱한 물리량입니다.

전기 쌍극자에 의한 전계의 세기는 거리에 따라 어떻게 변하나요?

전기 쌍극자에 의한 전계의 세기는 거리의 세제곱(

r^{3}

)에 반비례하여 감소합니다. 점전하에 의한 전계가 거리의 제곱(

r^{2}

)에 반비례하는 것과 차이가 있습니다.

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