회로의 전달 함수

전기기사 필기 2003년 2회 75번

시간 영역에서 커패시터의 전류-전압 관계는 $i = C \frac{dv}{dt}$이며, 이를 라플라스 변환하면 $I(s) = sC V(s)$가 되므로 임피던스 $Z(s) = \frac{V(s)}{I(s)} = \frac{1}{sC}$가 됩니다.

Q문제

다음 회로의 전달함수는?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{R _{2} s + 1}{( R _{1} + C _{2} ) s + 1}

커패시터의 임피던스 변환이 잘못 적용되었으며, 분모와 분자의 차원이 맞지 않는 수식입니다.

\frac{R _{2} C _{2} s + 1}{( R _{1} + R _{2} ) C _{2} s + 1}

주어진 회로의 전달함수는 출력측 임피던스를 전체 임피던스로 나눈 값입니다.

•

Step 1: 회로의 각 소자를 라플라스 변환 영역의 임피던스로 표현합니다. 저항

R_{1}

의 임피던스는

R_{1}

, 저항

R_{2}

와 커패시터

C_{2}

직렬회로의 임피던스는

Z_{2} = R_{2} + \frac{1}{C _{2} s} = \frac{R _{2} C _{2} s + 1}{C _{2} s}

입니다.

•

Step 2: 전압 분배 법칙을 이용하여 전달함수

G (s) = \frac{E _{o} ( s )}{E _{i} ( s )}

를 구합니다.

G (s) = \frac{Z _{2}}{R _{1} + Z _{2}}

입니다.

•

Step 3: 수식을 정리합니다.

G (s) = \frac{\frac{R _{2} C _{2} s + 1}{C _{2} s}}{R _{1} + \frac{R _{2} C _{2} s + 1}{C _{2} s}} = \frac{R _{2} C _{2} s + 1}{R _{1} C _{2} s + R _{2} C _{2} s + 1} = \frac{R _{2} C _{2} s + 1}{( R _{1} + R _{2} ) C _{2} s + 1}

가 됩니다.

\frac{R _{1} R _{2} s + 1}{( R _{1} + R _{2} ) C _{2} s + 1}

분자에 저항

R_{1}

이 곱해져 있어 전압 분배 법칙의 분자항(출력 임피던스)이 잘못 계산된 수식입니다.

\frac{R _{2} C _{2} s + 1}{( R _{1} + C _{2} ) s + 1}

분모에서 저항

R_{2}

가 누락되어 전체 임피던스 계산이 잘못된 수식입니다.

전달함수를 구할 때 왜 라플라스 변환을 사용하나요?

시간 영역의 복잡한 미분 및 적분 방정식을 s-영역의 단순한 대수 방정식으로 변환하여 회로의 입출력 관계를 쉽게 해석하기 위함입니다.

커패시터의 임피던스는 어떻게 구하게 되나요?

시간 영역에서 커패시터의 전류-전압 관계는

i = C \frac{d v}{d t}

이며, 이를 라플라스 변환하면

I (s) = s C V (s)

가 되므로 임피던스

Z (s) = \frac{V ( s )}{I ( s )} = \frac{1}{s C}

가 됩니다.