균일하게 원형단면을 흐르는 전류 $I[A]$에 의한, 반지름 $a[m]$, 길이 $l[m]$, 비투자율 $\mu_r$인 원통도체의 내부 인덕턴스는 몇 $[H]$인가?

$\frac{1}{2} \times 10^{-7} \mu_r l$

$\frac{1}{4a} \times 10^{-7} \mu_r l$

$\frac{1}{2} \times 10^{-7} \mu_r l$

비투자율 $\mu_r$이 주어지지 않은 경우에는 어떻게 계산하나요?

일반적인 구리선과 같은 비자성체 도체라면 비투자율 $\mu_r$을 1로 간주하여 계산을 진행합니다.

문제 탐색

인덕턴스

전기기사 필기 2018년 1회 19번

Q: 내부 인덕턴스가 도체의 반지름 $a$와 무관한 이유는 무엇인가요?

도체 내부의 자계 세기는 반지름에 비례하여 커지지만, 이를 체적 적분하여 에너지를 구하는 과정에서 분모의 $a^4$과 분자의 $a^4$ 성분이 서로 상쇄되기 때문입니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 전자유도 및 인덕턴스
인지 유형	memory
난이도	Level 3

Q문제

균일하게 원형단면을 흐르는 전류

I [A]

에 의한, 반지름

a [m]

, 길이

l [m]

, 비투자율

μ_{r}

인 원통도체의 내부 인덕턴스는 몇

[H]

인가?

유사 문제 링크

2006-3-q3 2005-1-q7 2015-3-q1 2005-2-q11 2014-3-q6

선택지 분석

1 0^{- 7} μ_{r} l

오답 함정 분석

자기 인덕턴스 공식 유도 과정에서 분모의 계수를

4 π

로 잘못 적용한 경우 발생하는 수치입니다.

3 \times 1 0^{- 7} μ_{r} l

오답 함정 분석

내부 인덕턴스 공식의 상수 계수를 잘못 계산하거나 암기한 결과입니다.

\frac{1}{4 a} \times 1 0^{- 7} μ_{r} l

오답 함정 분석

내부 인덕턴스가 도체의 반지름

a

에 반비례할 것이라는 오개념을 심어주기 위한 함정 선지입니다.

\frac{1}{2} \times 1 0^{- 7} μ_{r} l

정답 상세 해설

원통도체 내부의 자기 인덕턴스는 도체의 반지름과 무관하며

\frac{μ}{8 π} l

공식을 통해 결정됩니다.

•

Step 1: 앙페르의 주회적분 법칙을 이용하여 원통 내부 반지름

r

지점의 자계 세기

H

를 구합니다. 전류가 균일하게 흐르므로

H = \frac{I r}{2 π a ^{2}}

[A/m]가 됩니다.

•

Step 2: 단위 체적당 축적되는 자기 에너지

w = \frac{1}{2} μ H^{2}

를 전체 체적에 대해 적분하여 총 에너지

W

를 구합니다.

W = \int_{0}^{l} \int_{0}^{a} \frac{1}{2} μ (\frac{I r}{2 π a ^{2}})^{2} \cdot 2 π r d r d l = \frac{μ l I ^{2}}{16 π}

[J]입니다.

•

Step 3: 축적된 에너지와 인덕턴스의 관계식

W = \frac{1}{2} L I^{2}

에 대입하여 내부 인덕턴스

L

을 도출합니다.

L = \frac{μ l}{8 π} = \frac{4 π \times 1 0 ^{- 7} μ _{r} l}{8 π} = \frac{1}{2} \times 1 0^{- 7} μ_{r} l

[H]가 산출됩니다.

자주 묻는 질문

내부 인덕턴스가 도체의 반지름

a

와 무관한 이유는 무엇인가요?

도체 내부의 자계 세기는 반지름에 비례하여 커지지만, 이를 체적 적분하여 에너지를 구하는 과정에서 분모의

a^{4}

과 분자의

a^{4}

성분이 서로 상쇄되기 때문입니다.

비투자율

μ_{r}

이 주어지지 않은 경우에는 어떻게 계산하나요?

일반적인 구리선과 같은 비자성체 도체라면 비투자율

μ_{r}

을 1로 간주하여 계산을 진행합니다.

외부 인덕턴스와 내부 인덕턴스의 차이는 무엇인가요?

내부 인덕턴스는 도체 내부에 축적되는 자계 에너지에 의한 것이며, 외부 인덕턴스는 도체 외부 공간에 형성되는 자속에 의해 결정됩니다.

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