Z변환법

전기기사 필기 2014년 1회 63번

기본적인 Z변환 쌍을 암기하여 적용합니다. $\frac{z}{z-e^{-aT}}$ 형태는 시간 영역에서 $e^{-at}$에 해당한다는 사실을 이용하면 쉽게 역변환할 수 있습니다.

시간 함수가 $e^{-at}$일 때 라플라스 변환 결과의 분모는 $s+a$가 되고, $e^{at}$일 때는 $s-a$가 됩니다. 즉, 지수의 부호와 반대로 적용됩니다.

Q문제

다음 중 z변환함수

\frac{3 z}{z - e ^{- 3 T}}

에 대응되는 라플라스 변환 함수는?

유사 문제 링크

선택지 분석

\frac{1}{s + 3}

상수 계수 3을 누락한 오답입니다.

\frac{3}{s - 3}

지수 함수의 부호를 반대로 적용하여 분모를

s - 3

으로 잘못 계산한 오답입니다.

\frac{1}{s - 3}

상수 계수 3을 누락하고 지수 함수의 부호도 반대로 적용한 오답입니다.

\frac{3}{s + 3}

주어진 Z변환 함수를 시간 영역의 함수로 역변환한 후, 이를 다시 라플라스 변환하여 정답을 도출합니다.

•

Step 1: Z변환의 기본 공식을 확인합니다. 시간 함수

e^{- a t}

의 Z변환은

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

입니다.

•

Step 2: 주어진 Z변환 함수

F (z) = \frac{3 z}{z - e ^{- 3 T}}

를 기본 공식과 비교합니다. 상수 3이 곱해져 있고

a = 3

이므로, 대응되는 시간 함수는

f (t) = 3 e^{- 3 t}

입니다.

•

Step 3: 구한 시간 함수

f (t) = 3 e^{- 3 t}

를 라플라스 변환합니다.

L {e^{- a t}} = \frac{1}{s + a}

이므로,

L {3 e^{- 3 t}} = 3 \times \frac{1}{s + 3} = \frac{3}{s + 3}

이 됩니다.

Z변환 함수에서 시간 함수로 어떻게 바로 역변환하나요?

기본적인 Z변환 쌍을 암기하여 적용합니다.

\frac{z}{z - e ^{- a T}}

형태는 시간 영역에서

e^{- a t}

에 해당한다는 사실을 이용하면 쉽게 역변환할 수 있습니다.

지수 함수를 라플라스 변환할 때 분모의 부호는 어떻게 결정되나요?

시간 함수가

e^{- a t}

일 때 라플라스 변환 결과의 분모는

s + a

가 되고,

e^{a t}

일 때는

s - a

가 됩니다. 즉, 지수의 부호와 반대로 적용됩니다.