그림과 같은 반지름 $\rho[m]$인 원형 영역에 걸쳐 균등 자속밀도가 $B_0 a_z[T]$로 측정 되었다면 그 원형 영역내의 벡터 포텐셜 $A[Wb/m]$는 얼마인가?

$\frac{\rho B_0}{2\pi} a_{\phi}$

자속밀도 및 자속

전기기사 필기 2009년 1회 3번

Q문제

그림과 같은 반지름

ρ [m]

인 원형 영역에 걸쳐 균등 자속밀도가

B_{0} a_{z} [T]

로 측정 되었다면 그 원형 영역내의 벡터 포텐셜

A [W b / m]

는 얼마인가?

유사 문제 링크

\frac{ρ B _{0}}{2 π} a_{z}

벡터 포텐셜의 방향이 잘못되었으며, 크기 계산 시 분모에 파이(pi)가 잘못 포함되었습니다.

\frac{ρ B _{0}}{2 π} a_{ϕ}

벡터 포텐셜의 크기 계산 시 분모에 파이(pi)가 잘못 포함되었습니다.

\frac{ρ B _{0}}{2} a_{z}

벡터 포텐셜의 방향이 회전 방향이 아닌 자속밀도와 동일한 방향으로 잘못 설정되었습니다.

\frac{ρ B _{0}}{2} a_{ϕ}

벡터 포텐셜과 자속밀도의 관계 및 스토크스 정리를 이용하여 벡터 포텐셜을 도출합니다.

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Step 1: 벡터 포텐셜 A와 자속밀도 B의 관계식은 ∇ × A = B 입니다. 양변을 면적분하고 스토크스 정리를 적용하면 ∫ B · dS = ∮ A · dl 이 성립합니다.

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Step 2: 반지름이 ρ인 원형 영역을 통과하는 전체 자속은 Φ = ∫ B · dS = B_0 × (πρ^2) 입니다.

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Step 3: 원형 경로를 따라 벡터 포텐셜을 선적분하면 대칭성에 의해 ∮ A · dl = A_φ × (2πρ) 가 됩니다.

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Step 4: 두 식을 같다고 놓으면 B_0 × πρ^2 = A_φ × 2πρ 가 되며, 이를 A_φ에 대해 정리하면 A_φ = (ρB_0) / 2 입니다. 따라서 벡터 포텐셜은 A = (ρB_0 / 2) a_φ 입니다.

벡터 포텐셜의 방향은 어떻게 결정되나요?

벡터 포텐셜의 방향은 자속밀도를 생성하는 전류의 방향과 일치합니다. 균일한 자속밀도가 z축 방향일 때, 이를 유도하는 등가 전류는 원통 좌표계의 파이(φ) 방향으로 흐르므로 벡터 포텐셜도 파이(φ) 방향을 가집니다.

스토크스 정리는 이 문제에서 어떻게 적용되나요?

스토크스 정리는 벡터장의 회전에 대한 면적분을 그 경계 곡선에 대한 선적분으로 변환해 줍니다. 이 문제에서는 자속밀도(벡터 포텐셜의 회전)의 면적분을 벡터 포텐셜의 선적분으로 바꾸어 벡터 포텐셜의 크기를 쉽게 계산하는 데 사용됩니다.