미소 진동 시 $\sin\theta$를 $\theta$로 근사하는 이유는 무엇인가요?

진폭이 매우 작은 미소 진동에서는 테일러 전개에 의해 $\sin\theta \approx \theta$로 근사할 수 있으며, 이를 통해 복잡한 비선형 미분 방정식을 단순한 조화 진동자 방정식으로 바꾸어 주기를 쉽게 구할 수 있기 때문입니다.

문제 탐색

자계 및 자위

전기기사 필기 2004년 1회 17번

Q: 관성 모멘트 $I$가 커지면 진동 주기는 어떻게 되나요?

주기 $T$는 관성 모멘트 $I$의 제곱근에 비례하므로, 관성 모멘트가 커질수록 진동 주기도 길어집니다.

Q: 자기 모멘트 $m$이나 자속 밀도 $B$가 커지면 주기는 어떻게 변하나요?

주기 $T$는 자기 모멘트 $m$과 자속 밀도 $B$의 곱의 제곱근에 반비례하므로, $m$이나 $B$가 커지면 복원력이 강해져 진동 주기는 짧아집니다.

과목 / 챕터	전기자기학 / 자계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

균일한 자속 밀도

B

중에 자기 모멘트

m

의 자석(관성 모멘트

I

)이 있다. 이 자석을 미소 진동 시켰을 때의 주기는 얼마인가?

유사 문제 링크

2004-1-q10 2016-1-q14 2003-1-q18 2011-1-q11 2003-2-q15

선택지 분석

2 π \frac{1}{m B}

오답 함정 분석

관성 모멘트

I

가 누락되어 진동계의 물리적 특성을 제대로 반영하지 못한 오답입니다.

2 π \frac{I}{m B}

정답 상세 해설

자기장 내에서 자석이 받는 회전력(토크)과 관성 모멘트의 관계를 이용하여 미소 진동의 주기를 도출할 수 있습니다.

•

Step 1: 균일한 자속 밀도

B

내에서 자기 모멘트

m

인 자석이 각도

θ

만큼 기울어졌을 때 받는 회전력(토크)은

τ = - m B sin θ

입니다.

•

Step 2: 미소 진동의 경우

θ

가 매우 작으므로

sin θ \approx θ

로 근사할 수 있으며, 회전 운동 방정식은

I \frac{d ^{2} θ}{d t ^{2}} = - m B θ

가 됩니다.

•

Step 3: 이 미분 방정식은 단순 조화 진동을 나타내며 각진동수

ω = \frac{m B}{I}

를 가집니다. 따라서 진동 주기

T = \frac{2 π}{ω}

에 대입하면 최종적으로

T = 2 π \frac{I}{m B}

가 됩니다.

2 π \frac{1}{m B / I}

오답 함정 분석

수학적 결괏값은 정답과 동일하나, 표준적인 물리 공식의 기약 형태가 아니므로 가장 적절한 정답(2번)과 구분하기 위해 출제된 오답 선지입니다.

2 π \frac{m B}{I}

오답 함정 분석

주기

T

가 아닌 각진동수

ω

에 비례하는 형태를 사용하여 분모와 분자의 위치가 뒤바뀐 오답입니다.

자주 묻는 질문

미소 진동 시

sin θ

를

θ

로 근사하는 이유는 무엇인가요?

진폭이 매우 작은 미소 진동에서는 테일러 전개에 의해

sin θ \approx θ

로 근사할 수 있으며, 이를 통해 복잡한 비선형 미분 방정식을 단순한 조화 진동자 방정식으로 바꾸어 주기를 쉽게 구할 수 있기 때문입니다.

관성 모멘트

I

가 커지면 진동 주기는 어떻게 되나요?

주기

T

는 관성 모멘트

I

의 제곱근에 비례하므로, 관성 모멘트가 커질수록 진동 주기도 길어집니다.

자기 모멘트

m

이나 자속 밀도

B

가 커지면 주기는 어떻게 변하나요?

주기

T

는 자기 모멘트

m

과 자속 밀도

B

의 곱의 제곱근에 반비례하므로,

m

이나

B

가 커지면 복원력이 강해져 진동 주기는 짧아집니다.

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