입체각 $\omega$는 어떻게 계산하나요?

반지름이 $a$인 원형 코일의 중심축 상 거리 $r$인 점 $P$에서의 입체각 $\omega$는 $\omega = 2\pi(1 - \cos\theta) = 2\pi\left(1 - \frac{r}{\sqrt{a^2+r^2}}\right)$로 계산합니다.

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자계와 전류 사이의 힘

전기기사 필기 2003년 1회 18번

과목 / 챕터	전기자기학 / 자계
인지 유형	calculation
난이도	Level 3

Q문제

반지름

a

인 원형코일의 중심축상

r [m]

의 거리에 있는 점

P

의 자위는 몇

A

인가? (단, 점

P

에 대한 원의 입체각을

ω

, 전류

I

를

[A]

라 한다.)

유사 문제 링크

2011-1-q11 2003-2-q15 2003-2-q19 2011-1-q3 2006-1-q1

선택지 분석

\frac{ω}{4 π} I

오답 함정 분석

수식의 의미는 같으나, 전류

I

가 분자에 명확히 포함된 단일 분수 형태가 표준적인 공식 표현입니다.

4 π ω I

오답 함정 분석

자위 공식에서

4 π

는 분모에 위치해야 하나, 분자에 곱해져 있어 오답입니다.

4 π ω

오답 함정 분석

자위를 결정하는 핵심 요소인 전류

I

가 누락되었으며,

4 π

의 위치도 잘못되었습니다.

\frac{ω I}{4 π}

정답 상세 해설

원형 코일에 전류가 흐를 때 중심축 상의 임의의 점

P

에서의 자위는

\frac{ω I}{4 π}

입니다.

•

Step 1: 자위(Magnetic potential)의 정의에 따라, 미소 면적을 지나는 전류

I

에 의한 미소 자위

d U_{m}

은

d U_{m} = \frac{I}{4 π} d ω

로 표현됩니다.

•

Step 2: 원형 코일 전체 면적에 대해 적분하면, 점

P

에서 원형 코일이 이루는 전체 입체각을

ω

라고 할 때, 자위

U_{m} = \frac{I}{4 π} \int d ω = \frac{ω I}{4 π}

가 됩니다.

•

Step 3: 따라서 점

P

의 자위는

\frac{ω I}{4 π} [A]

입니다.

자주 묻는 질문

입체각

ω

는 어떻게 계산하나요?

반지름이

a

인 원형 코일의 중심축 상 거리

r

인 점

P

에서의 입체각

ω

는

ω = 2 π (1 - cos θ) = 2 π (1 - \frac{r}{a ^{2} + r ^{2}})

로 계산합니다.

자위의 단위가 왜 암페어[A]인가요?

자위(Magnetic potential)는 자계의 세기를 거리에 대해 적분한 값이며, 앙페르의 주회적분 법칙에 의해 전류와 같은 차원을 가지므로 단위로 암페어[A]를 사용합니다.

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