근궤적의 성질

전기기사 필기 2014년 1회 66번

Q문제

이득이 K인 시스템의 근궤적을 그리고자 한다. 다음 중 잘못된 것은?

선택지 분석

근궤적의 가지수는 극(Pole)의 수와 같다.

근궤적의 가지수는 개루프 전달함수의 극(Pole)의 수와 영점(Zero)의 수 중 더 큰 값에 의해 결정되므로, 단순히 극의 수와 같다고 단정하는 것은 잘못된 설명입니다.

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Step 1: 근궤적의 성질에 따르면 가지의 총 개수는 개루프 전달함수의 극의 개수(n)와 영점의 개수(m) 중에서 큰 값인 max(n, m)과 일치합니다.

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Step 2: 실제 물리적 시스템에서는 대개 n >= m인 경우가 많아 극의 수와 같게 보이지만, 수학적 정의상으로는 두 값 중 최댓값을 기준으로 합니다.

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Step 3: 따라서 모든 경우에 대해 극의 수와 같다는 진술은 일반성을 잃으므로 오답이 됩니다.

근궤적은 K=0일 때 극에서 출발하고 K=∞일 때 영점에 도착한다.

근궤적은 K=0일 때 개루프 극에서 출발하여 K가 무한대로 커짐에 따라 개루프 영점으로 수렴하는 성질을 가지므로 이는 옳은 설명입니다.

실수축에서 이득 K가 최대가 되게 하는 점이 이탈점이 될 수 있다.

이탈점은 근궤적이 실수축에서 벗어나는 지점으로, 특성방정식에서 이득 K가 극대 또는 극소가 되는 지점에서 발생할 수 있으므로 옳은 설명입니다.

근궤적은 실수축에 대칭이다.

특성방정식의 계수가 실수인 경우 근은 항상 공액 복소수로 존재하므로, 근궤적은 반드시 실수축에 대하여 대칭을 이루어야 합니다.

근궤적의 가지수가 영점의 수와 같을 수도 있나요?

네, 영점의 수가 극의 수보다 많은 특수한 경우에는 근궤적의 가지수가 영점의 수와 같아지게 됩니다.

근궤적이 영점에 도착하지 못하는 경우는 어떻게 되나요?

영점의 수(m)가 극의 수(n)보다 적은 경우, 남은 n-m개의 근궤적은 무한원점에 있는 영점을 향해 발산하게 됩니다.